Самостоятельная работа по теме: «Системы уравнений» 1. Решите методом подстановки систему уравнений: [x-3y = 8, 2x - y = 6. 2. Решите методом сложения систему уравнений: 4x - 5y = -83, 12x + 5y = 29. 3. Решите графически систему уравнений: x - y = 5, x + 2y = -1. 4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч. 5. Решите систему уравнений: 7x + 5y = 19,3x - 2y = 6, 24 4x-3y= 5;12x-8y = 20.

1. Решение системы уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases} x - 3y = 8, \\ 2x - y = 6. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = 3y + 8\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[2(3y + 8) - y = 6\] \[6y + 16 - y = 6\] \[5y = -10\] \[y = -2\]

Теперь найдем x:

\[x = 3(-2) + 8\] \[x = -6 + 8\] \[x = 2\]

Ответ: x = 2, y = -2

2. Решение системы уравнений методом сложения:

\[\begin{cases} 4x - 5y = -83, \\ 12x + 5y = 29. \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(4x - 5y) + (12x + 5y) = -83 + 29\] \[16x = -54\] \[x = -\frac{54}{16} = -\frac{27}{8} = -3.375\]

Теперь подставим x в одно из уравнений, например, в первое:

\[4(-3.375) - 5y = -83\] \[-13.5 - 5y = -83\] \[-5y = -83 + 13.5\] \[-5y = -69.5\] \[y = \frac{-69.5}{-5} = 13.9\]

Ответ: x = -3.375, y = 13.9

3. Решение системы уравнений графически:

\[\begin{cases} x - y = 5, \\ x + 2y = -1. \end{cases}\]

Выразим y из обоих уравнений:

\[y = x - 5\] \[2y = -x - 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\]

Чтобы решить графически, нужно построить графики этих функций и найти точку их пересечения. Решим систему аналитически:

\[x - 5 = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\] \[x + \frac{1}{2}x = 5 - \frac{1}{2}\] \[\frac{3}{2}x = \frac{9}{2}\] \[x = 3\]

Теперь найдем y:

\[y = 3 - 5 = -2\]

Ответ: x = 3, y = -2

4. Задача про пешеходов:

Пусть скорость первого пешехода - v1, а скорость второго - v2.

Расстояние между сёлами 20 км, и они встретились через 2 часа:

\[2v_1 + 2v_2 = 20\] \[v_1 + v_2 = 10\]

Первый пешеход проходит за 4 часа на 12 км больше, чем второй за 3 часа:

\[4v_1 = 3v_2 + 12\]

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} v_1 + v_2 = 10, \\ 4v_1 - 3v_2 = 12. \end{cases}\]

Выразим v1 из первого уравнения:

\[v_1 = 10 - v_2\]

Подставим во второе уравнение:

\[4(10 - v_2) - 3v_2 = 12\] \[40 - 4v_2 - 3v_2 = 12\] \[-7v_2 = -28\] \[v_2 = 4\]

Теперь найдем v1:

\[v_1 = 10 - 4 = 6\]

Ответ: Скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч.

5. Решение системы уравнений:

\[\begin{cases} 7x + 5y = 19.3x - 2y = 6, \\ 4x - 3y = 5; 12x - 8y = 20. \end{cases}\]

Из первого уравнения:

\[7x + 5y = 6\] \[19.3x - 2y = 6\]

Из второго уравнения:

\[4x - 3y = 5\] \[12x - 8y = 20\]

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив на 4:

\[3x - 2y = 5\]

Выразим y из уравнения 7x + 5y = 6:

\[5y = 6 - 7x\] \[y = \frac{6 - 7x}{5}\]

Подставим это в уравнение 3x - 2y = 5:

\[3x - 2(\frac{6 - 7x}{5}) = 5\] \[15x - 12 + 14x = 25\] \[29x = 37\] \[x = \frac{37}{29}\]

Теперь найдем y:

\[y = \frac{6 - 7(\frac{37}{29})}{5} = \frac{6 - \frac{259}{29}}{5} = \frac{\frac{174 - 259}{29}}{5} = \frac{-85}{145} = -\frac{17}{29}\]

Ответ: x = 37/29, y = -17/29