«Самостоятельная работа по теме "Скалярное произведение векторов">" Вариант 2. 1. Даны точки М(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y). а) Найдите координаты векторов МР и ОК. б) Найдите длины векторов МР и ОК. в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК. г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК. д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)? е) При каком значении у векторы РК и MR перпендикулярны? 2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК HP, PM PM

Решение:

а) Координаты векторов MP и OK:

Для нахождения координат вектора MP, нужно вычесть из координат точки P координаты точки M:

MP = P - M = (-2 - 2; 0 - 3) = (-4; -3)

Для нахождения координат вектора OK, нужно вычесть из координат точки K координаты точки O:

OK = K - O = (-5 - 0; -12 - 0) = (-5; -12)

Ответ: MP (-4; -3), OK (-5; -12)

б) Длины векторов MP и OK:

Длина вектора MP:

$$|MP| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Длина вектора OK:

$$|OK| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Ответ: |MP| = 5, |OK| = 13

в) Скалярное произведение векторов MP и OK:

Скалярное произведение векторов MP и OK вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат:

MP · OK = (-4) * (-5) + (-3) * (-12) = 20 + 36 = 56

Ответ: MP · OK = 56

г) Косинус угла между векторами MP и OK:

Косинус угла между векторами MP и OK можно найти по формуле:

$$cos(α) = \frac{MP \cdot OK}{|MP| \cdot |OK|}$$

$$cos(α) = \frac{56}{5 \cdot 13} = \frac{56}{65} ≈ 0.86$$

Ответ: cos(α) ≈ 0.86

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

Так как косинус угла между векторами MP и OK положительный (cos(α) ≈ 0.86 > 0), то угол между векторами MP и OK является острым.

Ответ: Угол острый, так как косинус угла положительный.

е) При каком значении y векторы PK и MR перпендикулярны?

Координаты вектора PK = K - P = (-5 - (-2); -12 - 0) = (-3; -12)

Координаты вектора MR = R - M = (4 - 2; y - 3) = (2; y - 3)

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

PK · MR = (-3) * 2 + (-12) * (y - 3) = 0

-6 - 12y + 36 = 0

-12y + 30 = 0

-12y = -30

$$y = \frac{-30}{-12} = \frac{5}{2} = 2.5$$

Ответ: y = 2.5

2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2.

Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК HP, PM PM

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов. Так как НК - биссектриса, то угол МНК = углу PНК = 30 градусов.

|MH| = |HP| = |MP| = 2

НК - высота, медиана и биссектриса в равностороннем треугольнике. Значит, МК = КР = 1.

По теореме Пифагора в треугольнике МНК: $$|НК|^2 + |МК|^2 = |МН|^2$$

$$|НК|^2 = |МН|^2 - |МК|^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$$

$$|НК| = \sqrt{3}$$

Вычислим скалярное произведение векторов НК МР:

Угол между НК и МР равен углу между НК и МК, который равен 90 + 60 = 150 градусов.

HK · MP = |НК| * |MP| * cos(150)

$$HK \cdot MP = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot cos(150^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3$$

Вычислим скалярное произведение векторов НК HP:

Угол между НК и HP равен 30 градусам.

HK · HP = |НК| * |HP| * cos(30)

$$HK \cdot HP = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot cos(30^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3$$

Вычислим скалярное произведение векторов PM PM:

$$PM \cdot PM = |PM| \cdot |PM| \cdot cos(0^{\circ}) = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$$

Ответ: НК · МР = -3, НК · HP = 3, PM · PM = 4