Самостоятельная работа по теме «Скалярное произведение векторов в координатах» Вариант 1 1. Вычислите скалярное произведение векторов а{2; 3} и Б{6; 5}. 2. Чему равно скалярное произведение векторов а = 4î – 3ĵ и b = −î + 2j. 3. При каком значении х векторы а{4; 5} и b{х; -6} перпендикулярны. 4. Найдите косинус угла между векторами а{7; 1} и Б{5; 5}. 5. Найдите угол между векторами а{−5; 6} и б{6; 5}. 6. Найдите косинус угла ВАС треугольника АВС с координатами точек А(2; 8), B(-1; 5), C(3; 1).

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими заданиями. Будем решать их по порядку.

1. Вычисление скалярного произведения векторов

Давай найдем скалярное произведение векторов \[\vec{a} = \{2; 3\}\] и \[\vec{b} = \{6; 5\}.\]

Скалярное произведение вычисляется по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Подставляем значения:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27\]

Ответ: 27

2. Скалярное произведение векторов через координаты î и ĵ

Даны векторы \[\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j}\] и \[\vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j}.\]

Скалярное произведение вычисляется аналогично:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \cdot -1) + (-3 \cdot 2) = -4 - 6 = -10\]

Ответ: -10

3. Условие перпендикулярности векторов

Векторы \[\vec{a} = \{4; 5\}\] и \[\vec{b} = \{x; -6\}\] перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 4x + 5 \cdot (-6) = 0\]

Решаем уравнение:

\[4x - 30 = 0 \Rightarrow 4x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5\]

Ответ: 7.5

4. Косинус угла между векторами

Даны векторы \[\vec{a} = \{7; 1\}\] и \[\vec{b} = \{5; 5\}.\]

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Сначала найдем скалярное произведение:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 5 + 1 \cdot 5 = 35 + 5 = 40\]

Теперь найдем модули векторов:

\[|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Подставляем в формулу косинуса:

\[\cos(\theta) = \frac{40}{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{40}{25 \cdot 2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8\]

Ответ: 0.8

5. Угол между векторами

Даны векторы \[\vec{a} = \{-5; 6\}\] и \[\vec{b} = \{6; 5\}.\]

Сначала найдем скалярное произведение:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = -5 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = -30 + 30 = 0\]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Значит, угол между ними равен 90 градусов.

Ответ: 90°

6. Косинус угла BAC треугольника ABC

Даны точки A(2; 8), B(-1; 5), C(3; 1).

Найдем векторы \[\vec{AB}\] и \[\vec{AC}.\]

\[\vec{AB} = B - A = (-1 - 2; 5 - 8) = \{-3; -3\}\] \[\vec{AC} = C - A = (3 - 2; 1 - 8) = \{1; -7\}\]

Теперь найдем косинус угла между векторами \[\vec{AB}\] и \[\vec{AC}.\]

Скалярное произведение:

\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18\]

Модули векторов:

\[|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] \[|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

Косинус угла:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Ответ: 0.6

Молодец! Ты отлично справляешься. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!