Самостоятельная работа по теме «Свойства прямоугольного треугольника». Вариант №3 1. В прямоугольном треугольнике DKF угол D равен 30°, угол F равен 90°. Найдите гипотенузу DK этого треугольника, если катет FK равен 3,7см. 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 8 см. Найдите основание этого треугольника. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 27 см. Найдите гипотенузу.

Решим задачи по геометрии.

1. В прямоугольном треугольнике DKF, угол D равен 30°, угол F равен 90°. Катет FK равен 3,7 см. Найти гипотенузу DK.

   Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

   Катет FK прилежит к углу D, значит угол K = 60°.

   Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   $$sin D = \frac{FK}{DK}$$.

   $$DK = \frac{FK}{sin D}$$.

   $$DK = \frac{3.7}{sin 30°}$$.

   $$sin 30° = \frac{1}{2} = 0,5$$.

   $$DK = \frac{3.7}{0.5} = 7.4 \text{ см}$$.

   Ответ: 7,4 см

2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Найти основание этого треугольника.

   Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, угол B = 120°, BH – высота, проведённая к боковой стороне AC, BH = 8 см. Найти основание AC.

   Углы при основании равнобедренного треугольника равны: углы A и C равны.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   $$A + B + C = 180°$$.

   $$A = C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$$.

   Рассмотрим треугольник ABH. Угол H = 90°, угол A = 30°.

   Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   $$sin A = \frac{BH}{AB}$$.

   $$AB = \frac{BH}{sin A}$$.

   $$AB = \frac{8}{sin 30°} = \frac{8}{0.5} = 16 \text{ см}$$.

   По теореме синусов:

   $$\frac{AC}{sin B} = \frac{AB}{sin C}$$.

   $$AC = \frac{AB \cdot sin B}{sin C}$$.

   $$sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

   $$AC = \frac{16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5} = 16 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$$.

   Ответ: $$16 \cdot \sqrt{3}$$ см

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 27 см. Найти гипотенузу.

   Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, угол C = 90°, угол A = 60°. Сумма гипотенузы AB и меньшего катета BC равна 27 см.

   Угол B = 30°.

   Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. BC = 0,5 AB.

   По условию, AB + BC = 27 см.

   AB + 0,5 AB = 27.

   1,5 AB = 27.

   $$AB = \frac{27}{1.5} = 18 \text{ см}$$.

   Ответ: 18 см