Самостоятельная работа по теме Теорема Пифагора B-1 1. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а другой катет 12 см. 2. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба. 3. Докажите, что треугольник со сторонами 12см, 35см и 37см является прямоугольным.

1. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13 см, а другой катет 12 см.

Пусть a и b - катеты, c - гипотенуза. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = c^2$$. Известно, что гипотенуза c = 13 см, один из катетов b = 12 см. Необходимо найти другой катет a.

Выразим $$a^2$$ из теоремы Пифагора: $$a^2 = c^2 - b^2$$.

Подставим известные значения: $$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$.

Тогда $$a = \sqrt{25} = 5$$ см.

Ответ: 5 см

2. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба.

Площадь ромба через диагонали вычисляется как $$S = \frac{1}{2}d_1d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба. В данном случае $$d_1 = 12$$ см, $$d_2 = 16$$ см.

Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96$$ $$см^2$$.

Чтобы найти периметр ромба, нужно сначала найти сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Значит, половинки диагоналей равны 6 см и 8 см. Сторона ромба a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора: $$a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$.

Тогда $$a = \sqrt{100} = 10$$ см.

Периметр ромба P вычисляется как $$P = 4a$$, где a - сторона ромба. В данном случае a = 10 см.

Подставим значение: $$P = 4 \cdot 10 = 40$$ см.

Ответ: Площадь ромба 96 $$см^2$$, периметр ромба 40 см.

3. Докажите, что треугольник со сторонами 12 см, 35 см и 37 см является прямоугольным.

Чтобы доказать, что треугольник прямоугольный, нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора для его сторон. Пусть a = 12 см, b = 35 см, c = 37 см. Если $$a^2 + b^2 = c^2$$, то треугольник прямоугольный.

Подставим значения: $$12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$$.

А $$37^2 = 1369$$.

Так как $$12^2 + 35^2 = 37^2$$, то теорема Пифагора выполняется, и треугольник является прямоугольным.

Ответ: Треугольник со сторонами 12 см, 35 см и 37 см является прямоугольным.