Самостоятельная работа по теме «Теорема Пифагора» Вариант 2 1. Найдите гипотенузу, если катеты равны 3см и 7 см 2. Найдите катет, если гипотенуза равна 9см, а второй катет равен 4см 3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 10см и 24см 4. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 8см и 5см 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 4см, а основание - 6см 6. Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 2см и 14см, если боковая сторона равна 10см

Разберем задачи по геометрии, используя теорему Пифагора.

1. Задача 1: Найти гипотенузу, если катеты равны 3 см и 7 см.

   Решение:

   По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$.

   Подставим значения катетов: $$c = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$$.

   $$c \approx 7.62 \text{ см}$$.

   Ответ: $$\sqrt{58}$$ см

2. Задача 2: Найти катет, если гипотенуза равна 9 см, а второй катет равен 4 см.

   Решение:

   Пусть c - гипотенуза, a - известный катет, b - искомый катет.

   По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$, откуда $$b^2 = c^2 - a^2$$, значит, $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$.

   Подставим значения: $$b = \sqrt{9^2 - 4^2} = \sqrt{81 - 16} = \sqrt{65}$$.

   $$b \approx 8.06 \text{ см}$$.

   Ответ: $$\sqrt{65}$$ см

3. Задача 3: Найти сторону ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

   Решение:

   Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют прямой угол. Таким образом, половинки диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, а сторона ромба - гипотенузой.

   Пусть $$d_1 = 10 \text{ см}$$, $$d_2 = 24 \text{ см}$$. Тогда половинки диагоналей: $$\frac{d_1}{2} = 5 \text{ см}$$, $$\frac{d_2}{2} = 12 \text{ см}$$.

   Сторона ромба $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$.

   Ответ: 13 см

4. Задача 4: Найти диагональ прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см.

   Решение:

   Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника.

   Пусть стороны прямоугольника a = 8 см и b = 5 см. Тогда диагональ d вычисляется по теореме Пифагора: $$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$$.

   $$d \approx 9.43 \text{ см}$$.

   Ответ: $$\sqrt{89}$$ см

5. Задача 5: Найти площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 4 см, а основание - 6 см.

   Решение:

   Для нахождения площади равнобедренного треугольника нужно знать его высоту. Высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит основание пополам.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой. Боковая сторона (4 см) - гипотенуза, половина основания (3 см) - катет, высота - второй катет.

   Найдем высоту: $$h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$$.

   Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$$.

   $$S \approx 7.94 \text{ см}^2$$.

   Ответ: $$3\sqrt{7}$$ см²

6. Задача 6: Найти высоту равнобокой трапеции с основаниями 2 см и 14 см, если боковая сторона равна 10 см.

   Решение:

   Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два равных прямоугольных треугольника по бокам и прямоугольник посередине.

   Разница между основаниями: $$14 - 2 = 12 \text{ см}$$. Так как треугольника два, то на каждый приходится: $$\frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$ (это катет прямоугольного треугольника).

   Высота является вторым катетом, а боковая сторона - гипотенузой.

   Найдем высоту: $$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$.

   Ответ: 8 см