Самостоятельная работа по теме: "Второй признак подобия треугольников" Вариант 2 1. В треугольниках PQR и XYZ стороны пропорциональны: PQ:XY = 2:7, QR:YZ = 2:7, и углы Q = Y = 90°. Докажите, что треугольники подобны. 2. В треугольнике DEF проведена высота DH. Известно, что DE:DF = 5:8, и ∠D = 80°. Найдите отношение DH:HF. 3. В подобных треугольниках с коэффициентом подобия к = 3, периметр первого треугольника равен 15 см. Найдите периметр второго треугольника. 4. В треугольнике KLM KL = 10 см, LM = 15 см, ∠L = 60°. В треугольнике RST RS = 5 см, ЅT = 7.5 см, ∠S = 60°. Докажите подобие треугольников и найдите их коэффициент подобия. 5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса CD. Докажите подобие треугольников ACD и BCD

1. В треугольниках PQR и XYZ стороны пропорциональны: PQ:XY = 2:7, QR:YZ = 2:7, и углы Q = Y = 90°. Докажите, что треугольники подобны.

Решение:

Для доказательства подобия треугольников PQR и XYZ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано:

• PQ:XY = 2:7


• QR:YZ = 2:7


• ∠Q = ∠Y = 90°

Доказательство:

Так как PQ:XY = 2:7 и QR:YZ = 2:7, то две стороны треугольника PQR пропорциональны двум сторонам треугольника XYZ.

Также, ∠Q = ∠Y = 90°, то есть углы между этими сторонами равны.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, треугольники PQR и XYZ подобны.

2. В треугольнике DEF проведена высота DH. Известно, что DE:DF = 5:8, и ∠D = 80°. Найдите отношение DH:HF.

Решение:

Пусть DE = 5x и DF = 8x. Рассмотрим треугольник DHF, где DH - высота, и угол ∠DHF прямой (90°). Тогда ∠HDF = 80°.

Выразим HF через DF и угол ∠HDF: HF = DF * cos(∠HDF) = 8x * cos(80°).

Выразим DH через DF и угол ∠HDF: DH = DF * sin(∠HDF) = 8x * sin(80°).

Тогда отношение DH к HF: DH/HF = (8x * sin(80°)) / (8x * cos(80°)) = sin(80°) / cos(80°) = tan(80°).

Найдем тангенс угла 80°: tan(80°) ≈ 5.671

Следовательно, DH:HF ≈ 5.671

3. В подобных треугольниках с коэффициентом подобия к = 3, периметр первого треугольника равен 15 см. Найдите периметр второго треугольника.

Решение:

Пусть P1 - периметр первого треугольника, P2 - периметр второго треугольника, и k - коэффициент подобия.

Так как периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, то P1/P2 = k.

P1 = 15 см, k = 3.

15 / P2 = 3

P2 = 15 / 3 = 5

Следовательно, периметр второго треугольника равен 5 см.

4. В треугольнике KLM KL = 10 см, LM = 15 см, ∠L = 60°. В треугольнике RST RS = 5 см, ST = 7.5 см, ∠S = 60°. Докажите подобие треугольников и найдите их коэффициент подобия.

Решение:

Дано:

• KL = 10 см, LM = 15 см, ∠L = 60°


• RS = 5 см, ST = 7.5 см, ∠S = 60°

Проверим пропорциональность сторон:

KL/RS = 10/5 = 2

LM/ST = 15/7.5 = 2

∠L = ∠S = 60°

Так как две стороны треугольника KLM пропорциональны двум сторонам треугольника RST, и углы между этими сторонами равны, то треугольники KLM и RST подобны по второму признаку подобия.

Коэффициент подобия k = KL/RS = LM/ST = 2.

5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса CD. Докажите подобие треугольников ACD и BCD

Решение:

Дано:

• Треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC


• CD - биссектриса угла C

Доказательство:

Так как CD - биссектриса угла C, то ∠ACD = ∠BCD.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC.

Рассмотрим треугольники ACD и BCD:

• ∠ACD = ∠BCD (по условию, CD - биссектриса)


• AC = BC (по условию, треугольник ABC - равнобедренный)


• CD - общая сторона

Следовательно, треугольники ACD и BCD подобны по первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Решения выше