Самостоятельная работа по теме «Нахождение площади криволинейной трапеции». Вариант №4. Вычислить площадь фигуры, ограниченный линиями, предварительно сделав рисунок: 1. y = x², x = 1, x = 3, y = 0. 2. y = 2x, x = 2, x = 3, y = 0 3. y = 4x - x², x = 2, x = 4, y = 0 π 4. y = cosx, x = n, x = -,y = 0 4' 5. y = x² - 2x + 3, x = 0,x = 3, y = 0 6. y = x²-2x + 3,y = 6,x = 0 7. y = x, x = 3 и осью ОХ

1. y = x², x = 1, x = 3, y = 0

• Шаг 1: Вычисляем определенный интеграл функции y = x² на интервале от 1 до 3.
• Шаг 2: Интеграл от x² равен \(\frac{x^3}{3}\).
• Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

\[\int_{1}^{3} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\]

Ответ: \(\frac{26}{3}\)

2. y = 2x, x = 2, x = 3, y = 0

• Шаг 1: Вычисляем определенный интеграл функции y = 2x на интервале от 2 до 3.
• Шаг 2: Интеграл от 2x равен x².
• Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

\[\int_{2}^{3} 2x dx = x^2 \Big|_{2}^{3} = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\]

Ответ: 5

3. y = 4x - x², x = 2, x = 4, y = 0

• Шаг 1: Вычисляем определенный интеграл функции y = 4x - x² на интервале от 2 до 4.
• Шаг 2: Интеграл от 4x - x² равен 2x² - \(\frac{x^3}{3}\).
• Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

\[\int_{2}^{4} (4x - x^2) dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} \Big|_{2}^{4} = (2(4^2) - \frac{4^3}{3}) - (2(2^2) - \frac{2^3}{3}) = (32 - \frac{64}{3}) - (8 - \frac{8}{3}) = 32 - \frac{64}{3} - 8 + \frac{8}{3} = 24 - \frac{56}{3} = \frac{72 - 56}{3} = \frac{16}{3}\]

Ответ: \(\frac{16}{3}\)

4. y = cosx, x = π, x = \(\frac{π}{4}\), y = 0

• Шаг 1: Вычисляем определенный интеграл функции y = cosx на интервале от π до \(\frac{π}{4}\).
• Шаг 2: Интеграл от cosx равен sinx.
• Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

\[\int_{π}^{\frac{π}{4}} cos(x) dx = sin(x) \Big|_{π}^{\frac{π}{4}} = sin(\frac{π}{4}) - sin(π) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

5. y = x² - 2x + 3, x = 0, x = 3, y = 0

• Шаг 1: Вычисляем определенный интеграл функции y = x² - 2x + 3 на интервале от 0 до 3.
• Шаг 2: Интеграл от x² - 2x + 3 равен \(\frac{x^3}{3}\) - x² + 3x.
• Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

\[\int_{0}^{3} (x^2 - 2x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \Big|_{0}^{3} = (\frac{3^3}{3} - 3^2 + 3(3)) - (\frac{0^3}{3} - 0^2 + 3(0)) = (\frac{27}{3} - 9 + 9) - 0 = 9 - 9 + 9 = 9\]

Ответ: 9

6. y = x² - 2x + 3, y = 6, x = 0

• Шаг 1: Находим точки пересечения функций y = x² - 2x + 3 и y = 6.
• Шаг 2: Решаем уравнение x² - 2x + 3 = 6.
• Шаг 3: x² - 2x - 3 = 0.
• Шаг 4: Находим корни уравнения.

\[x^2 - 2x - 3 = 0\] \[D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\] \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\]

• Шаг 5: Интегрируем разность функций на интервале от -1 до 0.

\[\int_{-1}^{0} (6 - (x^2 - 2x + 3)) dx = \int_{-1}^{0} (3 + 2x - x^2) dx = 3x + x^2 - \frac{x^3}{3} \Big|_{-1}^{0} = (3(0) + 0^2 - \frac{0^3}{3}) - (3(-1) + (-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3}) = 0 - (-3 + 1 + \frac{1}{3}) = 3 - 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3}\]

Ответ: \(\frac{5}{3}\)

7. y = x, x = 3 и осью ОХ

• Шаг 1: Вычисляем определенный интеграл функции y = x на интервале от 0 до 3.
• Шаг 2: Интеграл от x равен \(\frac{x^2}{2}\).
• Шаг 3: Подставляем пределы интегрирования:

\[\int_{0}^{3} x dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}\]

Ответ: \(\frac{9}{2}\)