Самостоятельная работа по теме «Простейшие задачи в координатах» Вариант 3. Дано: А(-12; - 4), B(-5; 6), C(0;3). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АBC; д) длину медианы ВМ.

Выполняю задание.

1. Координаты вектора BC.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

$$BC = (x_C - x_B; y_C - y_B)$$ $$BC = (0 - (-5); 3 - 6)$$ $$BC = (5; -3)$$

Ответ: координаты вектора BC (5; -3).

2. Длина вектора AB.

Длина вектора находится по формуле: $$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$ $$|AB| = \sqrt{(-5 - (-12))^2 + (6 - (-4))^2}$$ $$|AB| = \sqrt{(7)^2 + (10)^2}$$ $$|AB| = \sqrt{49 + 100}$$ $$|AB| = \sqrt{149}$$

Ответ: длина вектора AB равна $$\sqrt{149}$$.

3. Координаты середины отрезка AC.

Координаты середины отрезка находятся по формулам: $$x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$$ $$y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$$ $$x_M = \frac{-12 + 0}{2} = -6$$ $$y_M = \frac{-4 + 3}{2} = -0.5$$

Ответ: координаты середины отрезка AC (-6; -0.5).

4. Периметр треугольника ABC.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. $$P = |AB| + |BC| + |AC|$$ Длину AB мы уже знаем: $$\sqrt{149}$$. Найдем длины BC и AC: $$|BC| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$$ $$|BC| = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (3 - 6)^2}$$ $$|BC| = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2}$$ $$|BC| = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$ $$|AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$$ $$|AC| = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (3 - (-4))^2}$$ $$|AC| = \sqrt{(12)^2 + (7)^2}$$ $$|AC| = \sqrt{144 + 49} = \sqrt{193}$$ $$P = \sqrt{149} + \sqrt{34} + \sqrt{193}$$ $$P \approx 12.21 + 5.83 + 13.89 \approx 31.93$$

Ответ: периметр треугольника ABC равен $$\sqrt{149} + \sqrt{34} + \sqrt{193} \approx 31.93$$.

5. Длина медианы BM.

Медиана BM - это отрезок, соединяющий вершину B с серединой стороны AC. Середина AC - это точка M с координатами (-6; -0.5), которые мы уже нашли в пункте в). Длина медианы BM находится по формуле расстояния между двумя точками: $$|BM| = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2}$$ $$|BM| = \sqrt{(-6 - (-5))^2 + (-0.5 - 6)^2}$$ $$|BM| = \sqrt{(-1)^2 + (-6.5)^2}$$ $$|BM| = \sqrt{1 + 42.25} = \sqrt{43.25}$$ $$|BM| \approx 6.58$$

Ответ: длина медианы BM равна $$\sqrt{43.25} \approx 6.58$$.