Самостоятельная работа по теме «Простейшие задачи в координатах» Вариант 200 Дано: А(-3; 9), B(-4; - 8), C(6;0). Найти: а) координаты вектора вектора АС; АС; б) длину вектора ВС; в) координаты середины отрезка АВ; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы СМ.

Решение:

1. a) Координаты вектора AC:$$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (6 - (-3); 0 - 9) = (9; -9)$$ Ответ: (9; -9)
2. б) Длина вектора BC:$$\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (6 - (-4); 0 - (-8)) = (10; 8)$$$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$$ Ответ: $$2\sqrt{41}$$
3. в) Координаты середины отрезка AB: Пусть M - середина отрезка AB. Тогда координаты точки M вычисляются по формулам: $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$$$$x_M = \frac{-3 + (-4)}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5$$ $$y_M = \frac{9 + (-8)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$$Координаты середины отрезка AB: (-3.5; 0.5) Ответ: (-3.5; 0.5)
4. г) Периметр треугольника ABC: Для начала найдем длины сторон треугольника: $$AB = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-8 - 9)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-17)^2} = \sqrt{1 + 289} = \sqrt{290}$$$$BC = 2\sqrt{41} \approx 12.81$$$$AC = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} \approx 12.73$$Периметр треугольника ABC:$$P = AB + BC + AC = \sqrt{290} + 2\sqrt{41} + 9\sqrt{2} \approx 17.03 + 12.81 + 12.73 = 42.57$$ Ответ: $$42.57$$
5. д) Длина медианы CM: Пусть M - середина отрезка AB, как и в пункте в). Координаты точки M: (-3.5; 0.5). Длина медианы CM: $$CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} = \sqrt{(-3.5 - 6)^2 + (0.5 - 0)^2} = \sqrt{(-9.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{90.25 + 0.25} = \sqrt{90.5} \approx 9.51$$ Ответ: $$9.51$$