Самостоятельная работа по теме Разложение квадратного трехчлена на множители Вариант 1 А1. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 2x²-12x+10; 6)-2x²+5x+7; в) 5x²-8x+3; г) 9x² +6x+1; d) 2x²-6x+5 e) -2x²+5x-3; ж) 4х²-7х+3. 2x²-3x-2 В1. Сократите дробь: x²+3x-10

A1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

a) $$2x^2 - 12x + 10$$

1. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $$2(x^2 - 6x + 5)$$.
2. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2 - 6x + 5$$:
   • Сумма корней равна 6, а произведение равно 5.
   • Корни: $$x_1 = 1, x_2 = 5$$.
3. Разложим на множители: $$2(x - 1)(x - 5)$$.

б) $$-2x^2 + 5x + 7$$

1. Вынесем -1 за скобки: $$-(2x^2 - 5x - 7)$$.
2. Найдем корни квадратного трехчлена $$2x^2 - 5x - 7$$:
   • $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$.
   • $$x_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$$.
   • $$x_2 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$.
3. Разложим на множители: $$-2(x - 3.5)(x + 1)$$.
4. Упростим: $$-2(x - \frac{7}{2})(x + 1) = -(2x - 7)(x + 1)$$.

в) $$5x^2 - 8x + 3$$

1. Найдем корни квадратного трехчлена:
   • $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$$.
   • $$x_1 = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$$.
   • $$x_2 = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$$.
2. Разложим на множители: $$5(x - 1)(x - 0.6)$$.
3. Упростим: $$5(x - 1)(x - \frac{3}{5}) = (x - 1)(5x - 3)$$.

г) $$9x^2 + 6x + 1$$

1. Заметим, что это полный квадрат: $$(3x + 1)^2$$.
2. Разложим на множители: $$(3x + 1)(3x + 1)$$.

д) $$2x^2 - 6x + 5$$

1. Найдем корни квадратного трехчлена:
   • $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$$.
   • Т.к. $$D < 0$$, то корней нет.
2. Квадратный трехчлен не раскладывается на множители.

е) $$-2x^2 + 5x - 3$$

1. Вынесем -1 за скобки: $$-(2x^2 - 5x + 3)$$.
2. Найдем корни квадратного трехчлена $$2x^2 - 5x + 3$$:
   • $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$.
   • $$x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$.
   • $$x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$.
3. Разложим на множители: $$-2(x - 1.5)(x - 1)$$.
4. Упростим: $$-2(x - \frac{3}{2})(x - 1) = -(2x - 3)(x - 1)$$.

ж) $$4x^2 - 7x + 3$$

1. Найдем корни квадратного трехчлена:
   • $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$$.
   • $$x_1 = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$$.
   • $$x_2 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = 0.75$$.
2. Разложим на множители: $$4(x - 1)(x - 0.75)$$.
3. Упростим: $$4(x - 1)(x - \frac{3}{4}) = (x - 1)(4x - 3)$$.

B1. Сократите дробь: $$\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 + 3x - 10}$$

1. Разложим числитель на множители:
   • $$2x^2 - 3x - 2$$
   • $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$.
   • $$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$.
   • $$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$.
   • $$2(x - 2)(x + 0.5) = (x - 2)(2x + 1)$$.
2. Разложим знаменатель на множители:
   • $$x^2 + 3x - 10$$
   • Сумма корней равна -3, а произведение равно -10.
   • Корни: $$x_1 = 2, x_2 = -5$$.
   • $$(x - 2)(x + 5)$$.
3. Сократим дробь:
   • $$\frac{(x - 2)(2x + 1)}{(x - 2)(x + 5)} = \frac{2x + 1}{x + 5}$$.

Ответ: A1. a) $$2(x - 1)(x - 5)$$, б) $$-(2x - 7)(x + 1)$$, в) $$(x - 1)(5x - 3)$$, г) $$(3x + 1)(3x + 1)$$, д) не раскладывается, е) $$-(2x - 3)(x - 1)$$, ж) $$(x - 1)(4x - 3)$$; B1. $$\frac{2x + 1}{x + 5}$$