Самостоятельная работа по вероятности «Графы, степень и петля» 1. Определите степень каждой вершины (рис 1). 2. Найти количество ребер графа, если сумма степеней равна 28. 3. В графе восемь вершин 3 степени, и три вершины 6 степени. Найти количество ребер. 4. В некотором графе 6 вершин, степени которых равны: 4, 7, 2, 12, 1, 0. Найти количество ребер в этом графе. 5. В графе все вершины имеют одинаковую степень. Вершин у него 12, а ребер 48. Чему равна степень каждой вершины? 6. Может ли существовать граф, у которого сумма степеней равняется 1) 20; 2) 27; 3) 0?

1. Определите степень каждой вершины (рис 1).

Степень вершины - это количество ребер, инцидентных этой вершине. Смотрим на рисунок 1:

• Степень вершины A: 1
• Степень вершины B: 2
• Степень вершины C: 1
• Степень вершины D: 3
• Степень вершины E: 1

2. Найти количество ребер графа, если сумма степеней равна 28.

Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер. Обозначим количество ребер через m. Тогда:

\[2m = 28\] \[m = \frac{28}{2} = 14\]

Ответ: 14 ребер.

3. В графе восемь вершин 3 степени, и три вершины 6 степени. Найти количество ребер.

Сумма степеней всех вершин:

\[8 \times 3 + 3 \times 6 = 24 + 18 = 42\]

Количество ребер:

\[m = \frac{42}{2} = 21\]

Ответ: 21 ребро.

4. В некотором графе 6 вершин, степени которых равны: 4, 7, 2, 12, 1, 0. Найти количество ребер в этом графе.

Сумма степеней всех вершин:

\[4 + 7 + 2 + 12 + 1 + 0 = 26\]

Количество ребер:

\[m = \frac{26}{2} = 13\]

Ответ: 13 ребер.

5. В графе все вершины имеют одинаковую степень. Вершин у него 12, а ребер 48. Чему равна степень каждой вершины?

Пусть степень каждой вершины равна k. Сумма степеней всех вершин:

\[12 \times k = 2 \times 48\] \[12k = 96\] \[k = \frac{96}{12} = 8\]

Ответ: степень каждой вершины равна 8.

6. Может ли существовать граф, у которого сумма степеней равняется 1) 20; 2) 27; 3) 0?

Сумма степеней всех вершин графа должна быть четной, так как она равна удвоенному количеству ребер.

• 1) 20 - да, может существовать.
• 2) 27 - нет, не может существовать (сумма степеней нечетная).
• 3) 0 - да, может существовать (граф без ребер и вершин).

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да.