Самостоятельная работа 2.3 Разложение квадратного трехчлена на множители Вариант 1 A1. Разложите на множители квадратный трехчлен: a) 2x²-12x+10; 2) 9x² +6x+1; ж) 4x²-7х+3. 6)-2x²+5x+7; 6) 5x²-8x+3; d) 2x²-6x+5 e) -2x²+5x-3; 2x²-3x-2 В1. Сократите дробь: x²+3x-10

A1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

a) 2x² - 12x + 10

• Вынесем общий множитель 2: 2(x² - 6x + 5)
• Найдем корни квадратного трехчлена x² - 6x + 5.
• Решаем уравнение x² - 6x + 5 = 0.
• Дискриминант D = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16
• Корни: x₁ = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 5, x₂ = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 1
• Разложение: 2(x - 5)(x - 1)

Ответ: 2(x - 5)(x - 1)

б) -2x² + 5x + 7

• Вынесем общий множитель -1: -(2x² - 5x - 7)
• Найдем корни квадратного трехчлена 2x² - 5x - 7.
• Решаем уравнение 2x² - 5x - 7 = 0.
• Дискриминант D = (-5)² - 4 * 2 * (-7) = 25 + 56 = 81
• Корни: x₁ = (5 + √81) / 4 = (5 + 9) / 4 = 3.5, x₂ = (5 - √81) / 4 = (5 - 9) / 4 = -1
• Разложение: -2(x - 3.5)(x + 1) или -(2x - 7)(x + 1)

Ответ: -(2x - 7)(x + 1)

в) 5x² - 8x + 3

• Решаем уравнение 5x² - 8x + 3 = 0.
• Дискриминант D = (-8)² - 4 * 5 * 3 = 64 - 60 = 4
• Корни: x₁ = (8 + √4) / 10 = (8 + 2) / 10 = 1, x₂ = (8 - √4) / 10 = (8 - 2) / 10 = 0.6
• Разложение: 5(x - 1)(x - 0.6) или (x - 1)(5x - 3)

Ответ: (x - 1)(5x - 3)

г) 9x² + 6x + 1

• Заметим, что это полный квадрат: (3x + 1)²

Ответ: (3x + 1)²

д) 2x² - 6x + 5

• Решаем уравнение 2x² - 6x + 5 = 0.
• Дискриминант D = (-6)² - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4
• Так как дискриминант отрицательный, квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не разлагается на множители.

Ответ: не разлагается на множители

e) -2x² + 5x - 3

• Вынесем общий множитель -1: -(2x² - 5x + 3)
• Решаем уравнение 2x² - 5x + 3 = 0.
• Дискриминант D = (-5)² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1
• Корни: x₁ = (5 + √1) / 4 = (5 + 1) / 4 = 1.5, x₂ = (5 - √1) / 4 = (5 - 1) / 4 = 1
• Разложение: -2(x - 1.5)(x - 1) или -(2x - 3)(x - 1)

Ответ: -(2x - 3)(x - 1)

ж) 4x² - 7x + 3

• Решаем уравнение 4x² - 7x + 3 = 0.
• Дискриминант D = (-7)² - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1
• Корни: x₁ = (7 + √1) / 8 = (7 + 1) / 8 = 1, x₂ = (7 - √1) / 8 = (7 - 1) / 8 = 0.75
• Разложение: 4(x - 1)(x - 0.75) или (x - 1)(4x - 3)

Ответ: (x - 1)(4x - 3)

В1. Сократите дробь:

Дробь: \[\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 + 3x - 10}\]

• Разложим числитель 2x² - 3x - 2 на множители:
• Решаем уравнение 2x² - 3x - 2 = 0.
• Дискриминант D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25
• Корни: x₁ = (3 + √25) / 4 = (3 + 5) / 4 = 2, x₂ = (3 - √25) / 4 = (3 - 5) / 4 = -0.5
• Разложение числителя: 2(x - 2)(x + 0.5) или (x - 2)(2x + 1)
• Разложим знаменатель x² + 3x - 10 на множители:
• Решаем уравнение x² + 3x - 10 = 0.
• Дискриминант D = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49
• Корни: x₁ = (-3 + √49) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 2, x₂ = (-3 - √49) / 2 = (-3 - 7) / 2 = -5
• Разложение знаменателя: (x - 2)(x + 5)
• Сократим дробь: \[\frac{(x - 2)(2x + 1)}{(x - 2)(x + 5)} = \frac{2x + 1}{x + 5}\]

Ответ: \[\frac{2x + 1}{x + 5}\]