Самостоятельная работа Средняя линия треугольника вар 1 1. В треугольнике АВС точки М., К - середины сторон АВ, ВС, АС. Найти периметр треугольника АВС, если MN=12, MK=10, KN=8. 2. Точки М и № являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС, сторона АВ равна 20, сторона ВС равна 58, сторона АС равна 64. Найдите MN 3. Периметр равностороннего треугольника АВС равен 72 см. Найдите его среднюю линию этого треугольника, которая параллельна стороне АС. 4. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника АВС. 5. В треугольнике АВС точки D и Е — середины сторон АС и ВС соответственно. Площадь тре- угольника CDE равна 57. Найдите площадь трапеции ADEB. 6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17см, а один из катетов равен 8. Найти среднюю линию параллельную второму катету

Задача 1:

По условию MN, MK, KN - средние линии треугольника ABC. Значит, стороны треугольника ABC в два раза больше, чем средние линии треугольника MNK.

\[AB = 2 \cdot KN = 2 \cdot 8 = 16\]

\[BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 12 = 24\]

\[AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 10 = 20\]

\[P_{ABC} = AB + BC + AC = 16 + 24 + 20 = 60\]

Ответ: 60

Задача 2:

MN - средняя линия треугольника ABC, следовательно, она равна половине стороны AC.

\[MN = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32\]

Ответ: 32

Задача 3:

Периметр равностороннего треугольника равен 72 см, значит, каждая сторона равна:

\[a = \frac{72}{3} = 24\]

Средняя линия параллельна стороне AC и равна половине этой стороны:

\[средняя\;линия = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\]

Ответ: 12 см

Задача 4:

DE - средняя линия треугольника ABC, следовательно, треугольник CDE подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\).

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

\[\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\]

Следовательно,

\[S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 9 = 36\]

Ответ: 36

Задача 5:

Площадь треугольника CDE равна 57. DE - средняя линия, следовательно, площадь треугольника ABC в четыре раза больше площади треугольника CDE:

\[S_{ABC} = 4 \cdot 57 = 228\]

Площадь трапеции ADEB равна разности площадей треугольников ABC и CDE:

\[S_{ADEB} = S_{ABC} - S_{CDE} = 228 - 57 = 171\]

Ответ: 171

Задача 6:

Пусть гипотенуза c = 17 см, один катет a = 8 см. Найдем второй катет b по теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Средняя линия, параллельная второму катету, равна половине этого катета:

\[средняя\;линия = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5\]

Ответ: 7,5 см