Самостоятельная работа. Тема: Решение текстовых задач. Вариант 1. 1. Сумма двух чисел равна 17, а квадрат разности этих чисел равен 81. Найдите эти числа. 2. Периметр прямоугольника равен 42 см, а диагональ равна 15 см. Найдите площадь прямоугольника. 3. Моторная лодка по течению реки прошла 35 км за 2 ч 20 мин, а против течения 18 км за 2 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки. 4. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 4 часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов заполнит бассейн первая труба?

Задание 1

Пусть x и y – искомые числа.

Тогда, согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 17 \\ (x - y)^2 = 81 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим y через x:

\[y = 17 - x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(x - (17 - x))^2 = 81\]

\[(2x - 17)^2 = 81\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[2x - 17 = \pm 9\]

Рассмотрим оба случая:

• \[2x - 17 = 9\]

  \[2x = 26\]

  \[x = 13\]

  Тогда \[y = 17 - 13 = 4\]

• \[2x - 17 = -9\]

  \[2x = 8\]

  \[x = 4\]

  Тогда \[y = 17 - 4 = 13\]

В обоих случаях получаем числа 13 и 4.

Ответ: 13 и 4

Задание 2

Пусть a и b – стороны прямоугольника.

Тогда, согласно условию задачи, имеем:

\[\begin{cases} 2(a + b) = 42 \\ a^2 + b^2 = 15^2 \end{cases}\]

Из первого уравнения выразим сумму сторон:

\[a + b = 21\]

Возведем это уравнение в квадрат:

\[(a + b)^2 = 21^2\]

\[a^2 + 2ab + b^2 = 441\]

Из второго уравнения известно, что \[a^2 + b^2 = 225\]

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\[225 + 2ab = 441\]

\[2ab = 216\]

\[ab = 108\]

Таким образом, площадь прямоугольника равна 108 см².

Ответ: 108 см²

Задание 3

Пусть v – собственная скорость лодки, а u – скорость течения реки.

Тогда скорость лодки по течению равна \[v + u\], а против течения – \[v - u\].

Согласно условию задачи, имеем:

• По течению: 35 км за 2 часа 20 минут (2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3} часа)
• Против течения: 18 км за 2 часа

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} (v + u) \cdot \frac{7}{3} = 35 \\ (v - u) \cdot 2 = 18 \end{cases}\]

Решим эту систему:

Из первого уравнения:

\[v + u = 35 \cdot \frac{3}{7} = 15\]

Из второго уравнения:

\[v - u = 9\]

Сложим два уравнения:

\[2v = 24\]

\[v = 12\]

Тогда:

\[u = 15 - 12 = 3\]

Таким образом, собственная скорость лодки равна 12 км/ч, а скорость течения реки – 3 км/ч.

Ответ: 12 км/ч и 3 км/ч

Задание 4

Пусть первая труба наполняет бассейн за x часов, а вторая – за y часов.

Тогда, согласно условию задачи, имеем:

\[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x = y - 6 \end{cases}\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[\frac{1}{y - 6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{y + y - 6}{y(y - 6)} = \frac{1}{4}\]

\[\frac{2y - 6}{y^2 - 6y} = \frac{1}{4}\]

Умножим крест-накрест:

\[4(2y - 6) = y^2 - 6y\]

\[8y - 24 = y^2 - 6y\]

\[y^2 - 14y + 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[y = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 24}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{14 \pm 10}{2}\]

Рассмотрим оба случая:

• \[y = \frac{14 + 10}{2} = 12\]

  Тогда \[x = 12 - 6 = 6\]

• \[y = \frac{14 - 10}{2} = 2\]

  Тогда \[x = 2 - 6 = -4\] (не подходит, так как время не может быть отрицательным)

Таким образом, первая труба наполнит бассейн за 6 часов.

Ответ: 6 часов