Самостоятельная работа. Теорема синусов. Вариант 12 1. Начертите треугольник DFE и составьте для него теорему синусов. 2. В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, ВС=4√6. Найдите АС. 3. В треугольнике АВС угол С равен 60°, АВ=12√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 4. В треугольнике АВС известно, что АВ=8, BC =12, 1 sin ABC = 3. Найдите площадь треугольника АВС.

Привет! Сейчас решим эту задачу. Будь внимателен и у тебя всё получится!

Задание 1. Теорема синусов для треугольника DFE

Теорема синусов утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника DFE это выглядит так:

\[\frac{DF}{\sin E} = \frac{FE}{\sin D} = \frac{DE}{\sin F}\]

Задание 2. Найти сторону AC

В треугольнике ABC известны два угла и сторона, лежащая против одного из них. Можно воспользоваться теоремой синусов для нахождения стороны AC.

Дано:

• ∠A = 60°
• ∠B = 45°
• BC = 4√6

Сначала найдем угол C:

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°

Теперь используем теорему синусов:

\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\] \[AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 45°}{\sin 60°}\]

Подставим значения синусов:

\[AC = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{4} = 8\]

Ответ: AC = 8

Задание 3. Найти радиус описанной окружности

В треугольнике ABC известен угол C и сторона AB. Радиус описанной окружности можно найти по формуле:

\[R = \frac{AB}{2 \sin C}\]

Дано:

• ∠C = 60°
• AB = 12√2

Подставим значения:

\[R = \frac{12\sqrt{2}}{2 \sin 60°} = \frac{12\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{6}}{3} = 4\sqrt{6}\]

Ответ: R = 4√6

Задание 4. Найти площадь треугольника ABC

В треугольнике ABC известны две стороны и синус угла между ними. Площадь можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin ABC\]

Дано:

• AB = 8
• BC = 12
• sin ABC = 1/3

Подставим значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} = \frac{96}{6} = 16\]

Ответ: S = 16