Самостоятельная работа «Целое уравнение» Вариант № 1 1. Решите уравнения; A) x³ - 2x2=06) x3 - 9x2 = ( B) x4 - x² - 3x3 + 3x = 0 2. Решите биквадратные уравнения; A) x² - 17x² + 16 = 0 6) x² + 3x² - 10 = 0 B) 2x4 - 3x² + 1 = 0 г) 16y4 - 8y² + 1 = 0 3. Решите уравнения, используя введение новой п ременной: Α) (x² - 7)² - 4(x² - 7) -45 = 0 5) (x² - 3x)² + 18(x² - 3x) + 32 = 0

A) x³ - 2x² = 0

Выносим общий множитель x² за скобки:

x²(x - 2) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• x² = 0 => x = 0
• x - 2 = 0 => x = 2

Ответ: x = 0, x = 2

Б) x³ - 9x² = 0

Выносим общий множитель x² за скобки:

x²(x - 9) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• x² = 0 => x = 0
• x - 9 = 0 => x = 9

Ответ: x = 0, x = 9

B) x⁴ - x² - 3x³ + 3x = 0

Группируем члены и выносим общие множители:

x⁴ - 3x³ - x² + 3x = 0

x³(x - 3) - x(x - 3) = 0

(x³ - x)(x - 3) = 0

x(x² - 1)(x - 3) = 0

x(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• x = 0
• x - 1 = 0 => x = 1
• x + 1 = 0 => x = -1
• x - 3 = 0 => x = 3

Ответ: x = 0, x = 1, x = -1, x = 3

A) x⁴ - 17x² + 16 = 0

Замена: t = x²

t² - 17t + 16 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-17)² - 4 * 1 * 16 = 289 - 64 = 225

t₁ = (17 + √225) / 2 = (17 + 15) / 2 = 32 / 2 = 16

t₂ = (17 - √225) / 2 = (17 - 15) / 2 = 2 / 2 = 1

Возвращаемся к замене:

• x² = 16 => x = ±4
• x² = 1 => x = ±1

Ответ: x = ±4, x = ±1

Б) x⁴ + 3x² - 10 = 0

Замена: t = x²

t² + 3t - 10 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49

t₁ = (-3 + √49) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2

t₂ = (-3 - √49) / 2 = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5

Возвращаемся к замене:

• x² = 2 => x = ±√2
• x² = -5 (нет решений, т.к. x² не может быть отрицательным)

Ответ: x = ±√2

B) 2x⁴ - 3x² + 1 = 0

Замена: t = x²

2t² - 3t + 1 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

t₁ = (3 + √1) / 4 = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1

t₂ = (3 - √1) / 4 = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Возвращаемся к замене:

• x² = 1 => x = ±1
• x² = 0.5 => x = ±√(0.5) = ±√2 / 2

Ответ: x = ±1, x = ±√2 / 2

Г) 16y⁴ - 8y² + 1 = 0

Замена: t = y²

16t² - 8t + 1 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-8)² - 4 * 16 * 1 = 64 - 64 = 0

t = 8 / (2 * 16) = 8 / 32 = 0.25

Возвращаемся к замене:

y² = 0.25 => y = ±0.5

Ответ: y = ±0.5

A) (x² - 7)² - 4(x² - 7) - 45 = 0

Замена: t = x² - 7

t² - 4t - 45 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-4)² - 4 * 1 * (-45) = 16 + 180 = 196

t₁ = (4 + √196) / 2 = (4 + 14) / 2 = 18 / 2 = 9

t₂ = (4 - √196) / 2 = (4 - 14) / 2 = -10 / 2 = -5

Возвращаемся к замене:

• x² - 7 = 9 => x² = 16 => x = ±4
• x² - 7 = -5 => x² = 2 => x = ±√2

Ответ: x = ±4, x = ±√2

Б) (x² - 3x)² + 18(x² - 3x) + 32 = 0

Замена: t = x² - 3x

t² + 18t + 32 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = 18² - 4 * 1 * 32 = 324 - 128 = 196

t₁ = (-18 + √196) / 2 = (-18 + 14) / 2 = -4 / 2 = -2

t₂ = (-18 - √196) / 2 = (-18 - 14) / 2 = -32 / 2 = -16

Возвращаемся к замене:

• x² - 3x = -2 => x² - 3x + 2 = 0
  • D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
  • x₁ = (3 + √1) / 2 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2
  • x₂ = (3 - √1) / 2 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1
• x² - 3x = -16 => x² - 3x + 16 = 0
  • D = (-3)² - 4 * 1 * 16 = 9 - 64 = -55 (нет решений, т.к. дискриминант отрицательный)

Ответ: x = 2, x = 1