Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Самостоятельная работа. Вариант 1. Решить уравнения: а) \(\log_2(x-15)=4\); б) \(\lg(2x)+\lg(x+3)=\lg(12x-4)\); в) \((\lg…Фото задания

Ответ:

  1. а) Область определения: \(x-15>0\), то есть \(x>15\).

    По определению логарифма: \(x-15=2^4=16\), поэтому \(x=31\). Условие ОДЗ выполнено.

  2. б) ОДЗ: \(x>0\) и \(12x-4>0\), следовательно, \(x>\frac{1}{3}\).

    Складываем логарифмы: \(\lg(2x(x+3))=\lg(12x-4)\), значит, \(2x(x+3)=12x-4\).

    Получаем \(2x^2-6x+4=0\), или \(x^2-3x+2=0\). Тогда \(x=1\) или \(x=2\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

  3. в) ОДЗ: \(x>0\). Положим \(t=\lg x\). Тогда \(t^2+2t=8\), откуда \((t-2)(t+4)=0\).

    Значит, \(t=2\) или \(t=-4\). Возвращаемся к переменной \(x\): \(x=10^2=100\) или \(x=10^{-4}\).

  4. г) ОДЗ: \(5x+6>0\). Так как \(\log_4(5x+6)=0\), то \(5x+6=4^0=1\), откуда \(x=-1\). Это значение удовлетворяет ОДЗ.

  5. д) ОДЗ: \(4-x>0\) и \(1-2x>0\), то есть \(x<\frac{1}{2}\).

    Объединяем логарифмы: \(\log_2((4-x)(1-2x))=\log_2 9\), поэтому \((4-x)(1-2x)=9\).

    После раскрытия скобок: \(2x^2-9x-5=0\). Корни: \(x=5\) и \(x=-\frac{1}{2}\). Условию ОДЗ удовлетворяет только \(x=-\frac{1}{2}\).

Ответ: а) \(31\); б) \(1, 2\); в) \(100, 10^{-4}\); г) \(-1\); д) \(-\frac{1}{2}\).