Самостоятельная работа. Вариант 2. 1. Из точки О, принадлежащей биссектрисе ВМ треугольника АВС, проведены перпендикуляры ОК и OF соответственно к сторонам АВ и АС. Докажите, что если OK = OF, то точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС

Решение:

• Дано: Точка O принадлежит биссектрисе BM треугольника ABC. OK ⊥ AB, OF ⊥ AC. OK = OF.
• Доказать: Точка O — центр вписанной окружности в треугольник ABC.
• Доказательство:
• По определению биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла.
• Так как точка O лежит на биссектрисе BM треугольника ABC, то расстояние от точки O до стороны AB (OK) равно расстоянию от точки O до стороны AC (OF).
• В условии дано, что OK = OF. Это подтверждает, что точка O равноудалена от сторон AB и AC.
• Центр вписанной окружности — это точка, равноудаленная от всех сторон треугольника.
• Поскольку OK и OF являются перпендикулярами к сторонам AB и AC соответственно, и OK = OF, то точка O equidistant от сторон AB и AC.
• Если бы были проведены перпендикуляры к третьей стороне BC, то их длина также была бы равна OK и OF, так как O лежит на биссектрисе BM.
• Следовательно, точка O равноудалена от всех трех сторон треугольника ABC, что означает, что она является центром вписанной окружности.

Вывод: Точка O, будучи на биссектрисе и равноудаленной от двух сторон AB и AC (OK = OF), является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.