Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Самостоятельная работа. Вариант 2. Решить уравнения: а) \(\lg(x^2-2x-4)=\lg 11\); б) \(1+\log_2(3x+1)=\log_2(x^2-5)\); в)…Фото задания

Ответ:

  1. а) ОДЗ: \(x^2-2x-4>0\). Равенство логарифмов с одинаковым основанием означает равенство аргументов: \(x^2-2x-4=11\).

    Решаем \(x^2-2x-15=0\): \((x-5)(x+3)=0\), поэтому \(x=5\) или \(x=-3\). При обоих значениях аргумент равен 11, значит, оба корня допустимы.

  2. б) ОДЗ: \(3x+1>0\) и \(x^2-5>0\). Поскольку \(1=\log_2 2\), левая часть равна \(\log_2(6x+2)\).

    Тогда \(6x+2=x^2-5\), откуда \(x^2-6x-7=0\). Корни: \(x=7\) и \(x=-1\). ОДЗ требует \(x>-\frac{1}{3}\), поэтому подходит только \(x=7\).

  3. в) ОДЗ: \(x>0\). При этом \(\lg x^2=2\lg x\). Обозначим \(t=\lg x\). Получаем \(4t^2-2=2t\), то есть \(2t^2-t-1=0\).

    Корни: \(t=1\) и \(t=-\frac{1}{2}\). Следовательно, \(x=10\) или \(x=10^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{10}}\).

  4. г) ОДЗ: \(3x+2>0\) и \(x+4>0\), то есть \(x>-\frac{2}{3}\). Приравниваем аргументы: \(3x+2=x+4\), откуда \(x=1\). Корень удовлетворяет ОДЗ.

  5. д) ОДЗ: \(x>3\). Преобразуем правую часть: \(1-\lg 5=\lg 10-\lg 5=\lg 2\). Слева складываем логарифмы, получая \(\lg((x-2)(x-3))=\lg 2\).

    Значит, \((x-2)(x-3)=2\), или \(x^2-5x+4=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=4\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=4\).

Ответ: а) \(-3, 5\); б) \(7\); в) \(10, \frac{1}{\sqrt{10}}\); г) \(1\); д) \(4\).