Самостоятельная работа По теме «Цилиндр» 1. Найдите высоту цилиндра, если его диаметр равен 3 см, а диагональ осевого сечения равна 5 см. 2. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его диаметр 12 см, а высота в 3 раза больше радиуса. 3. Найти объем цилиндра, если его диаметр равен 10 дм, а диагональ осевого сечения 1,2 м. 4. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если его радиус равен 6 см, а высота 0,5 дм. 5. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его высота - 24 см, а диаметр в 3 раза ее меньше. 6. Найти объем цилиндра, если его радиус равен 1,5 см, а диагональ осевого сечения – 5 см.

1. Найдите высоту цилиндра

Дано: диаметр d = 3 см, диагональ осевого сечения D = 5 см.

Найти: высоту h.

Решение: Диагональ осевого сечения, диаметр и высота образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{D^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\]

Ответ: высота цилиндра равна 4 см.

2. Площадь боковой и полной поверхности цилиндра

Дано: диаметр d = 12 см, высота h = 3r, где r - радиус.

Найти: площадь боковой поверхности S_бок и площадь полной поверхности S_полн.

Решение:

• Радиус r = d/2 = 12/2 = 6 см.
• Высота h = 3 * 6 = 18 см.
• Площадь боковой поверхности S_бок = 2\(\pi\)rh = 2\(\pi\) * 6 * 18 = 216\(\pi\) см².
• Площадь полной поверхности S_полн = 2\(\pi\)r(h + r) = 2\(\pi\) * 6 * (18 + 6) = 2\(\pi\) * 6 * 24 = 288\(\pi\) см².

Ответ: S_бок = 216\(\pi\) см², S_полн = 288\(\pi\) см².

3. Объем цилиндра

Дано: диаметр d = 10 дм, диагональ осевого сечения D = 1.2 м = 12 дм.

Найти: объем V.

Решение:

• Радиус r = d/2 = 10/2 = 5 дм.
• Высота h = \(\sqrt{D^2 - d^2}\) = \(\sqrt{12^2 - 10^2}\) = \(\sqrt{144 - 100}\) = \(\sqrt{44}\) = 2\(\sqrt{11}\) дм.
• Объем V = \(\pi\)r²h = \(\pi\) * 5² * 2\(\sqrt{11}\) = 50\(\pi\)(\(\sqrt{11}\)) дм³.

Ответ: V = 50\(\pi\)(\(\sqrt{11}\)) дм³.

4. Диагональ осевого сечения цилиндра

Дано: радиус r = 6 см, высота h = 0.5 дм = 5 см.

Найти: диагональ D.

Решение:

• Диаметр d = 2r = 2 * 6 = 12 см.
• Диагональ D = \(\sqrt{d^2 + h^2}\) = \(\sqrt{12^2 + 5^2}\) = \(\sqrt{144 + 25}\) = \(\sqrt{169}\) = 13 см.

Ответ: D = 13 см.

5. Площадь боковой и полной поверхности цилиндра

Дано: высота h = 24 см, диаметр d = h/3 = 24/3 = 8 см.

Найти: площадь боковой поверхности S_бок и площадь полной поверхности S_полн.

Решение:

• Радиус r = d/2 = 8/2 = 4 см.
• Площадь боковой поверхности S_бок = 2\(\pi\)rh = 2\(\pi\) * 4 * 24 = 192\(\pi\) см².
• Площадь полной поверхности S_полн = 2\(\pi\)r(h + r) = 2\(\pi\) * 4 * (24 + 4) = 2\(\pi\) * 4 * 28 = 224\(\pi\) см².

Ответ: S_бок = 192\(\pi\) см², S_полн = 224\(\pi\) см².

6. Объем цилиндра

Дано: радиус r = 1.5 см, диагональ осевого сечения D = 5 см.

Найти: объем V.

Решение:

• Диаметр d = 2r = 2 * 1.5 = 3 см.
• Высота h = \(\sqrt{D^2 - d^2}\) = \(\sqrt{5^2 - 3^2}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = \(\sqrt{16}\) = 4 см.
• Объем V = \(\pi\)r²h = \(\pi\) * 1.5² * 4 = 9\(\pi\) см³.

Ответ: V = 9\(\pi\) см³.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно использовал формулы для площади и объема цилиндра, а также теорему Пифагора для нахождения высоты.

Запомни: Площадь боковой поверхности S = 2\(\pi\)rh, площадь полной поверхности S = 2\(\pi\)r(h + r), объем V = \(\pi\)r²h, где r - радиус, h - высота цилиндра.