Самостоятельная работа. Подобие треугольников. Вариант 2 1. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 15, DC = 30, AC = 39. 2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М ИМ соответственно. Найдите BN, ссли MN = 11, AC = 44, NC = 18. 3. Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС.АВ, АН = 5, AC = 45.

Решение:

1. Рассмотрим подобные треугольники АВМ и CDM (по двум углам: углы АМВ и CMD равны как вертикальные, углы ВАМ и DCM равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС). Запишем отношение сходственных сторон:

   $$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$$.

   Выразим АМ через АС: АМ = АС − МС.

   $$\frac{AC - MC}{MC} = \frac{AB}{DC}$$.

   Подставим известные значения: АВ = 15, DC = 30, АС = 39.

   $$\frac{39 - MC}{MC} = \frac{15}{30}$$.

   $$\frac{39 - MC}{MC} = \frac{1}{2}$$.

   $$2(39 - MC) = MC$$.

   $$78 - 2MC = MC$$.

   $$3MC = 78$$.

   $$MC = \frac{78}{3}$$.

   MC = 26.

   Ответ: 26.

2. Рассмотрим подобные треугольники MBN и ABC (по двум углам: угол В общий, углы ВМN и ВАС равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей АВ). Запишем отношение сходственных сторон:

   $$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$$.

   Выразим ВС через BN и NC: BC = BN + NC.

   $$\frac{BN}{BN + NC} = \frac{MN}{AC}$$.

   Подставим известные значения: MN = 11, AC = 44, NC = 18.

   $$\frac{BN}{BN + 18} = \frac{11}{44}$$.

   $$\frac{BN}{BN + 18} = \frac{1}{4}$$.

   $$4BN = BN + 18$$.

   $$3BN = 18$$.

   $$BN = \frac{18}{3}$$.

   BN = 6.

   Ответ: 6.

3. В прямоугольном треугольнике ABC высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам катетов (по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике):

   $$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AH}{HC}$$.

   Найдём НС: АС = АН + НС, следовательно, НС = АС - АН = 45 - 5 = 40.

   $$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{5}{40}$$.

   $$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{1}{8}$$.

   $$BC^2 = 8AB^2$$.

   Треугольник АВС - прямоугольный, значит, можем записать теорему Пифагора:

   $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$.

   Подставим известные значения:

   $$45^2 = AB^2 + 8AB^2$$.

   $$2025 = 9AB^2$$.

   $$AB^2 = \frac{2025}{9}$$.

   $$AB^2 = 225$$.

   $$AB = \sqrt{225}$$.

   AB = 15.

   Ответ: 15.