Самостоятельная работа «Системы уравнений» 9 класс Вариант 1 Метод подстановки (x² + y² = 20 {* (3x + y = 2 Метод алгебраического сложения (xy - 3y² = -24 ( xy + 2y² = 21 Замена переменной (x²y² - 5xy = -6 x + y = 3

Привет! Давай решим эти системы уравнений. Ты молодец, что взялся за эту самостоятельную работу!

Метод подстановки

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 20 \\ 3x + y = 2\end{cases}\] Из второго уравнения выразим y: \[y = 2 - 3x\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + (2 - 3x)^2 = 20\] \[x^2 + 4 - 12x + 9x^2 = 20\] \[10x^2 - 12x - 16 = 0\] \[5x^2 - 6x - 8 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{196}}{10} = \frac{6 + 14}{10} = \frac{20}{10} = 2\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{196}}{10} = \frac{6 - 14}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8\] Теперь найдем соответствующие значения y: \[y_1 = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4\] \[y_2 = 2 - 3 \cdot (-0.8) = 2 + 2.4 = 4.4\] Ответ: (2, -4) и (-0.8, 4.4)

Метод алгебраического сложения

\[\begin{cases}xy - 3y^2 = -24 \\ xy + 2y^2 = 21\end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго: \[(xy + 2y^2) - (xy - 3y^2) = 21 - (-24)\] \[5y^2 = 45\] \[y^2 = 9\] \[y_1 = 3, y_2 = -3\] Теперь найдем соответствующие значения x: Если y = 3: \[x \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = -24\] \[3x - 27 = -24\] \[3x = 3\] \[x = 1\] Если y = -3: \[x \cdot (-3) - 3 \cdot (-3)^2 = -24\] \[-3x - 27 = -24\] \[-3x = 3\] \[x = -1\] Ответ: (1, 3) и (-1, -3)

Замена переменной

\[\begin{cases}x^2y^2 - 5xy = -6 \\ x + y = 3\end{cases}\] Пусть \(xy = t\), тогда первое уравнение станет: \[t^2 - 5t = -6\] \[t^2 - 5t + 6 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[(t - 2)(t - 3) = 0\] \[t_1 = 2, t_2 = 3\] Теперь у нас есть две системы уравнений: \[\begin{cases}xy = 2 \\ x + y = 3\end{cases}\] и \[\begin{cases}xy = 3 \\ x + y = 3\end{cases}\] Решим первую систему: \[y = 3 - x\] \[x(3 - x) = 2\] \[3x - x^2 = 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\] \[(x - 1)(x - 2) = 0\] \[x_1 = 1, x_2 = 2\] \[y_1 = 3 - 1 = 2\] \[y_2 = 3 - 2 = 1\] Решим вторую систему: \[y = 3 - x\] \[x(3 - x) = 3\] \[3x - x^2 = 3\] \[x^2 - 3x + 3 = 0\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3\] Так как дискриминант отрицательный, вещественных решений нет. Ответ: (1, 2) и (2, 1) Ты молодец! У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Если будут еще вопросы, обращайся! Удачи тебе в учёбе!