САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА тема: «Исследование функции при помощи производной» ВАРИАНТ № 3 1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b]: a) y = x²-2x² + 5 на отрезке [-2;2] 6) y = x² - 18x на отрезке. 2. Исследовать функцию с помощью производной и построить график функции y=-2x3+9x2-12x+3

Решение задания 1a:

Давай найдем наибольшее и наименьшее значения функции \(y = x^4 - 2x^2 + 5\) на отрезке \([-2; 2]\). Сначала найдем производную функции:

\[y' = 4x^3 - 4x\]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[4x^3 - 4x = 0\] \[4x(x^2 - 1) = 0\] \[x = 0, x = 1, x = -1\]

Все эти точки лежат в заданном отрезке \([-2; 2]\). Теперь найдем значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• \(y(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13\)
• \(y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4\)
• \(y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 5 = 5\)
• \(y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4\)
• \(y(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13\)

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([-2; 2]\) равно 13, а наименьшее значение равно 4.

Ответ: Наибольшее значение: 13, наименьшее значение: 4

Решение задания 1б:

Давай найдем наибольшее и наименьшее значения функции \(y = x^2 - 18x\) на отрезке. В задании не указан отрезок, поэтому будем считать, что функция рассматривается на всей числовой прямой. Найдем производную функции:

\[y' = 2x - 18\]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[2x - 18 = 0\] \[x = 9\]

Найдем значение функции в этой точке:

\[y(9) = 9^2 - 18 \cdot 9 = 81 - 162 = -81\]

Так как функция \(y = x^2 - 18x\) является параболой с ветвями, направленными вверх, то в точке \(x = 9\) достигается минимум функции. Наибольшего значения у функции на всей числовой прямой не существует, так как при \(x \to \pm \infty\), \(y \to +\infty\).

Если бы был задан конкретный отрезок, мы бы дополнительно рассмотрели значения функции на концах отрезка и выбрали наибольшее и наименьшее значения среди них.

Ответ: Наименьшее значение: -81, наибольшего значения не существует на всей числовой прямой.

Решение задания 2:

Давай исследуем функцию \(y = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 3\) с помощью производной и построим график. Сначала найдем производную функции:

\[y' = -6x^2 + 18x - 12\]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[-6x^2 + 18x - 12 = 0\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[(x - 1)(x - 2) = 0\] \[x = 1, x = 2\]

Теперь найдем вторую производную функции:

\[y'' = -12x + 18\]

Определим знаки второй производной в критических точках:

• \(y''(1) = -12(1) + 18 = 6 > 0\) (минимум)
• \(y''(2) = -12(2) + 18 = -6 < 0\) (максимум)

Найдем значения функции в точках экстремума:

• \(y(1) = -2(1)^3 + 9(1)^2 - 12(1) + 3 = -2 + 9 - 12 + 3 = -2\) (минимум)
• \(y(2) = -2(2)^3 + 9(2)^2 - 12(2) + 3 = -16 + 36 - 24 + 3 = -1\) (максимум)

Определим интервалы возрастания и убывания:

• При \(x < 1\), \(y' < 0\) (функция убывает)
• При \(1 < x < 2\), \(y' > 0\) (функция возрастает)
• При \(x > 2\), \(y' < 0\) (функция убывает)

График функции можно построить на основе полученных данных. Важные точки: минимум в \((1, -2)\), максимум в \((2, -1)\). Также можно найти точку перегиба, приравняв вторую производную к нулю: \(-12x + 18 = 0 \Rightarrow x = 1.5\). В точке перегиба \(y(1.5) = -1.5\).

Ответ: Функция убывает на \(x < 1\) и \(x > 2\), возрастает на \(1 < x < 2\). Минимум в \((1, -2)\), максимум в \((2, -1)\).