Самостоятельная работа «Умножение многочлена на многочлен» Вариант 1 1. Преобразовать выражение (4x²-x)(2x² + 3x) в многочлен стандартного вида 2. Упростить выражение: a) (x+3)(x-7)-4x(5-2x); б) (m³-3n)(m² + 2n)-4m³ (m² +7n) 3. Решить уравнение: (x+1)(x-2)-(x+5)(x + 4) = -2 4. Упростить выражение (a+3)(a-6)+(9-5a)(a + 1) и найти его значение. если а = 1 1 4 5. Доказать, что при любом значении переменной значение выражения (x+1)(x²+x-4)-(x+2)(x² - 3) равно 2. 6. Длина прямоугольника на 3см больше его ширины. Если длину уменьшить на 2см, а ширину увеличить на 5см, то площадь прямоугольника увеличится на 14см². Найти исходные длину и ширину прямоугольника.

Задание 1: Преобразовать выражение

Давай преобразуем выражение \[(4x^2 - x)(2x^2 + 3x)\] в многочлен стандартного вида. Для этого раскроем скобки, используя правило умножения многочлена на многочлен:

\[ (4x^2 - x)(2x^2 + 3x) = 4x^2 \cdot 2x^2 + 4x^2 \cdot 3x - x \cdot 2x^2 - x \cdot 3x \]

Выполним умножение:

\[ = 8x^4 + 12x^3 - 2x^3 - 3x^2 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ = 8x^4 + (12x^3 - 2x^3) - 3x^2 = 8x^4 + 10x^3 - 3x^2 \]

Ответ: \(8x^4 + 10x^3 - 3x^2\)

Задание 2a: Упростить выражение

Упростим выражение \[(x+3)(x-7) - 4x(5-2x)\]:

Сначала раскроем скобки:

\[ (x+3)(x-7) = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21 \] \[ 4x(5-2x) = 20x - 8x^2 \]

Теперь подставим полученные выражения обратно:

\[ x^2 - 4x - 21 - (20x - 8x^2) = x^2 - 4x - 21 - 20x + 8x^2 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ = (x^2 + 8x^2) + (-4x - 20x) - 21 = 9x^2 - 24x - 21 \]

Ответ: \(9x^2 - 24x - 21\)

Задание 2б: Упростить выражение

Упростим выражение \[(m^3 - 3n)(m^2 + 2n) - 4m^3(m^2 + 7n)\]:

Раскроем скобки:

\[ (m^3 - 3n)(m^2 + 2n) = m^5 + 2m^3n - 3nm^2 - 6n^2 \] \[ 4m^3(m^2 + 7n) = 4m^5 + 28m^3n \]

Теперь подставим полученные выражения обратно:

\[ m^5 + 2m^3n - 3nm^2 - 6n^2 - (4m^5 + 28m^3n) = m^5 + 2m^3n - 3nm^2 - 6n^2 - 4m^5 - 28m^3n \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ = (m^5 - 4m^5) + (2m^3n - 28m^3n) - 3nm^2 - 6n^2 = -3m^5 - 26m^3n - 3nm^2 - 6n^2 \]

Ответ: \(-3m^5 - 26m^3n - 3nm^2 - 6n^2\)

Задание 3: Решить уравнение

Решим уравнение \[(x+1)(x-2) - (x+5)(x+4) = -2\]:

Раскроем скобки:

\[ (x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2 \] \[ (x+5)(x+4) = x^2 + 4x + 5x + 20 = x^2 + 9x + 20 \]

Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение:

\[ x^2 - x - 2 - (x^2 + 9x + 20) = -2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ x^2 - x - 2 - x^2 - 9x - 20 = -2 \] \[ -10x - 22 = -2 \]

Перенесем -22 в правую часть:

\[ -10x = -2 + 22 \] \[ -10x = 20 \]

Разделим обе части на -10:

\[ x = \frac{20}{-10} = -2 \]

Ответ: \(x = -2\)

Задание 4: Упростить выражение и найти его значение

Упростим выражение \[(a+3)(a-6) + (9-5a)(a+1)\] и найдем его значение при \(a = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}\).

Раскроем скобки:

\[ (a+3)(a-6) = a^2 - 6a + 3a - 18 = a^2 - 3a - 18 \] \[ (9-5a)(a+1) = 9a + 9 - 5a^2 - 5a = -5a^2 + 4a + 9 \]

Подставим полученные выражения обратно:

\[ a^2 - 3a - 18 + (-5a^2 + 4a + 9) = a^2 - 3a - 18 - 5a^2 + 4a + 9 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ = (a^2 - 5a^2) + (-3a + 4a) + (-18 + 9) = -4a^2 + a - 9 \]

Теперь подставим \(a = \frac{5}{4}\) в упрощенное выражение:

\[ -4\left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} - 9 = -4\left(\frac{25}{16}\right) + \frac{5}{4} - 9 = -4 \cdot \frac{25}{16} + \frac{5}{4} - 9 = -\frac{25}{4} + \frac{5}{4} - 9 \]

Приведем к общему знаменателю и упростим:

\[ = \frac{-25 + 5 - 36}{4} = \frac{-56}{4} = -14 \]

Ответ: \(-14\)

Задание 5: Доказать, что выражение равно 2

Докажем, что при любом значении переменной x значение выражения

\[(x+1)(x^2+x-4) - (x+2)(x^2-3)\] равно 2.

Раскроем скобки:

\[(x+1)(x^2+x-4) = x^3 + x^2 - 4x + x^2 + x - 4 = x^3 + 2x^2 - 3x - 4\] \[(x+2)(x^2-3) = x^3 - 3x + 2x^2 - 6 = x^3 + 2x^2 - 3x - 6\]

Подставим полученные выражения обратно:

\[(x^3 + 2x^2 - 3x - 4) - (x^3 + 2x^2 - 3x - 6) = x^3 + 2x^2 - 3x - 4 - x^3 - 2x^2 + 3x + 6\]

Приведем подобные слагаемые:

\[(x^3 - x^3) + (2x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + (-4 + 6) = 0 + 0 + 0 + 2 = 2\]

Выражение действительно равно 2 при любом значении x.

Ответ: 2 (Доказано)

Задание 6: Задача про прямоугольник

Пусть длина прямоугольника равна \(d\), а ширина равна \(w\). Из условия задачи известно, что длина на 3 см больше ширины, то есть:

\[d = w + 3\]

Площадь прямоугольника равна:

\[S = d \cdot w\]

Если длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 14 см²:

\[(d - 2)(w + 5) = S + 14\]

Подставим первое уравнение во второе:

\[(w + 3 - 2)(w + 5) = (w + 1)(w + 5) = w^2 + 5w + w + 5 = w^2 + 6w + 5\]

И так как \(S = d \cdot w = (w+3)w = w^2 + 3w\), то

\[w^2 + 6w + 5 = w^2 + 3w + 14\]

Упростим уравнение:

\[w^2 + 6w + 5 - w^2 - 3w - 14 = 0\] \[3w - 9 = 0\] \[3w = 9\] \[w = 3\]

Теперь найдем длину:

\[d = w + 3 = 3 + 3 = 6\]

Таким образом, исходная длина прямоугольника равна 6 см, а ширина равна 3 см.

Ответ: Длина = 6 см, Ширина = 3 см