Самостоятельная работа Вариант 1. Решите треугольник: a) a = 8; 6 = 5; ∠A = 650 6) ∠C = 140°; ∠B = 200; 6 = 15 в) а = 6; 6 = 8; c = 12.

Решение задач на вычисление параметров треугольника по известным данным.

a) Дано: a = 8, b = 5, ∠A = 65°

Используем теорему синусов для нахождения угла B:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ $$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a}$$ $$\sin B = \frac{5 \cdot \sin 65°}{8} \approx \frac{5 \cdot 0.9063}{8} \approx 0.5664$$ $$B = \arcsin(0.5664) \approx 34.53°$$

Найдем угол C:

$$C = 180° - A - B \approx 180° - 65° - 34.53° \approx 80.47°$$

Найдем сторону c:

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$$ $$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}$$ $$c = \frac{8 \cdot \sin 80.47°}{\sin 65°} \approx \frac{8 \cdot 0.9862}{0.9063} \approx 8.71$$

Ответ: ∠B ≈ 34.53°; ∠C ≈ 80.47°; c ≈ 8.71

---

б) Дано: ∠C = 140°; ∠B = 20°; b = 15

Найдем угол A:

$$A = 180° - B - C = 180° - 20° - 140° = 20°$$

Используем теорему синусов для нахождения стороны a:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ $$\frac{a}{\sin 20°} = \frac{15}{\sin 20°}$$ $$a = \frac{15 \cdot \sin 20°}{\sin 20°} = 15$$

Найдем сторону c:

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$$ $$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B}$$ $$c = \frac{15 \cdot \sin 140°}{\sin 20°} = \frac{15 \cdot \sin (180°-40°)}{\sin 20°} = \frac{15 \cdot \sin 40°}{\sin 20°}$$ $$c \approx \frac{15 \cdot 0.6428}{0.3420} \approx 28.14$$

Ответ: ∠A = 20°; a = 15; c ≈ 28.14

---

в) Дано: a = 6; b = 8; c = 12.

Используем теорему косинусов для нахождения угла A:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$$ $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos A = \frac{8^2 + 12^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{64 + 144 - 36}{192} = \frac{172}{192} \approx 0.8958$$ $$A = \arccos(0.8958) \approx 26.4°$$

Используем теорему косинусов для нахождения угла B:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B$$ $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos B = \frac{6^2 + 12^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} = \frac{36 + 144 - 64}{144} = \frac{116}{144} \approx 0.8056$$ $$B = \arccos(0.8056) \approx 36.4°$$

Найдем угол C:

$$C = 180° - A - B \approx 180° - 26.4° - 36.4° \approx 117.2°$$

Ответ: ∠A ≈ 26.4°; ∠B ≈ 36.4°; ∠C ≈ 117.2°