Самостоятельная работа Вариант-2 5. Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла: 6)sin 45°; 7)cos 48°; 8)tg 150°; 9)sin(x+a); 10) 3π α cos(— + —) 2 2 6. Вычислить: 7)2 sin 75° · cos 75°; 8)cos² 15° - sin² 15°. 7. Вычислить sin 2a, если cos a =- 8. Вычислить tg 2a, если tg a = 2. 4-5 3π υπ < α <2

1. 5. Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла:

   • 6) \(\sin 45^\circ\):

     \[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\]

     \[\sin 45^\circ = \sin (2 \cdot 22.5^\circ) = 2 \sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ\]

   • 7) \(\cos 48^\circ\):

     \[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\]

     \[\cos 48^\circ = \cos (2 \cdot 24^\circ) = \cos^2 24^\circ - \sin^2 24^\circ\]

   • 8) \(\text{tg } 150^\circ\):

     \[\text{tg } 2x = \frac{2 \text{tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}\]

     \[\text{tg } 150^\circ = \text{tg } (2 \cdot 75^\circ) = \frac{2 \text{tg } 75^\circ}{1 - \text{tg}^2 75^\circ}\]

2. 9) \(\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\):

   \[\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\]

   \[\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \alpha + \sin \alpha)\]

3. 10) \(\cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\alpha}{2})\):

   \[\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\]

   \[\cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) = \cos \frac{3\pi}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{3\pi}{2} \sin \frac{\alpha}{2} = 0 \cdot \cos \frac{\alpha}{2} - (-1) \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = \sin \frac{\alpha}{2}\]

4. 6. Вычислить:

   • 7) \(2 \sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ\):

     \[2 \sin x \cos x = \sin 2x\]

     \[2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin (2 \cdot 75^\circ) = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}\]

   • 8) \(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ\):

     \[\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x\]

     \[\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos (2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

5. 7. Вычислить \(\sin 2a\), если \(\cos a = -\frac{4}{5}\) и \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\).

   Так как \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\), то \(a\) находится в третьей четверти, где синус отрицателен.

   Сначала найдем \(\sin a\) через основное тригонометрическое тождество:

   \[\sin^2 a + \cos^2 a = 1\]

   \[\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\]

   \[\sin a = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}\]

   Так как \(a\) в третьей четверти, то \(\sin a = -\frac{3}{5}\).

   Теперь найдем \(\sin 2a\) по формуле:

   \[\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25}\]

6. 8. Вычислить \(\text{tg } 2a\), если \(\text{tg } a = 2\).

   \[\text{tg } 2a = \frac{2 \text{tg } a}{1 - \text{tg}^2 a} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}\]

Математический берсерк: домашка уничтожена за секунды. Время для мемов активировано. Выручи одноклассников — кинь ссылку в чат, чтобы все успели.