Самостоятельные работы САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Биссектриса угла параллелограмма 1 ВАРИАНТ 1 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сто- рону, образуя с ней угол 48°. Найдите углы параллелограмма. 2. Биссектриса угла М параллелограмма МРКС пересе- кает сторону РК в точке В. Найдите периметр параллело- грамма, если МР = 14 см, ВК = 15 см. ВАРИАНТ 2 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сто- рону, образуя с ней угол 35°. Найдите углы параллелограмма. 2. Периметр параллелограмма ABCD равен 36 см. Бис- сектрисы углов BAD и CDA пересекаются на стороне ВС. Найдите длины сторон параллелограмма. ВАРИАНТ 3 1. Биссектриса угла А параллелограмма АВСК пересека- ет сторону ВС в точке М. Найдите углы параллелограмма, если известно, что ∠AMC = 138°. 2. Периметр параллелограмма ABCD равен 40 см. Биссек- триса АК угла BAD и биссектриса DM угла CDA делят сто- рону ВС на три равные части так, что точка К лежит между точками В и М. Найдите длины сторон параллелограмма.

ВАРИАНТ 1

1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону, образуя с ней угол 48°. Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть ABCD - параллелограмм, в котором биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, образуя угол ∠AEB = 48°.

Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD.

∠AEB = ∠EAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE.

Следовательно, ∠BAE = ∠AEB = 48°, а ∠BAD = 2 * 48° = 96°.

∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 96° = 84° (как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма).

∠BCD = ∠BAD = 96° и ∠ADC = ∠ABC = 84° (как противоположные углы параллелограмма).

Ответ: углы параллелограмма равны 96°, 84°, 96° и 84°.

2. Биссектриса угла М параллелограмма МРКС пересекает сторону РК в точке В. Найдите периметр параллелограмма, если МР = 14 см, ВК = 15 см.

Решение:

Пусть MPKC - параллелограмм, в котором биссектриса угла P пересекает сторону KC в точке B.

∠MPB = ∠BPK, так как PB - биссектриса угла MPK.

∠MPB = ∠PBK, как накрест лежащие углы при параллельных прямых MP и KC и секущей PB.

Следовательно, ∠BPK = ∠PBK, а значит, треугольник PBK - равнобедренный с основанием PB, и PK = BK.

Так как BK = 15 см, то PK = 15 см.

Периметр параллелограмма MPKC равен P = 2 * (MP + PK) = 2 * (14 + 15) = 2 * 29 = 58 см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 58 см.

ВАРИАНТ 2

1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону, образуя с ней угол 35°. Найдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть ABCD - параллелограмм, в котором биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, образуя угол ∠AEB = 35°.

Так как AE - биссектриса угла A, то ∠BAE = ∠EAD.

∠AEB = ∠EAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE.

Следовательно, ∠BAE = ∠AEB = 35°, а ∠BAD = 2 * 35° = 70°.

∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 70° = 110° (как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма).

∠BCD = ∠BAD = 70° и ∠ADC = ∠ABC = 110° (как противоположные углы параллелограмма).

Ответ: углы параллелограмма равны 70°, 110°, 70° и 110°.

2. Периметр параллелограмма ABCD равен 36 см. Биссектрисы углов BAD и CDA пересекаются на стороне ВС. Найдите длины сторон параллелограмма.

Решение:

Пусть биссектрисы углов BAD и CDA пересекаются в точке E на стороне BC.

∠BAE = ∠EAD, так как AE - биссектриса угла BAD.

∠DAE = ∠BEA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE.

Следовательно, ∠BAE = ∠BEA, а значит, треугольник ABE - равнобедренный с основанием AE, и AB = BE.

Аналогично, ∠CDE = ∠EDA, так как DE - биссектриса угла CDA.

∠CDE = ∠CED как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DE.

Следовательно, ∠CED = ∠CDE, а значит, треугольник CDE - равнобедренный с основанием DE, и CD = CE.

Тогда BC = BE + EC = AB + CD.

Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2 * (AB + BC) = 36 см.

Следовательно, AB + BC = 18 см.

Так как BC = AB + CD и AB = CD, то BC = 2 * AB.

Подставим это в уравнение AB + BC = 18 см: AB + 2 * AB = 18 см, 3 * AB = 18 см, AB = 6 см.

Тогда BC = 2 * AB = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см.

ВАРИАНТ 3

1. Биссектриса угла А параллелограмма АВСК пересекает сторону ВС в точке М. Найдите углы параллелограмма, если известно, что ∠AMC = 138°.

Решение:

∠AMB = 180° - ∠AMC = 180° - 138° = 42° (смежные углы).

∠BAM = ∠AMC - ∠ABC;

Пусть ∠BAM = x, тогда ∠BAK = x + x = 2x.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ABM = 180° - ∠AMB - ∠BAM = 180° - 42° - x = 138° - x.

∠ABC + ∠BAK = 180°;

138° - x + 2x = 180°;

x = 42°;

∠ABC = 138° - 42° = 96°;

∠BAK = 2 * 42° = 84°.

Углы параллелограмма АВСК: ∠ABC = ∠AKC = 96°, ∠BAK = ∠BCK = 84°.

Ответ: Углы параллелограмма равны 96°, 84°, 96° и 84°.

2. Периметр параллелограмма ABCD равен 40 см. Биссектриса АК угла BAD и биссектриса DM угла CDA делят сторону ВС на три равные части так, что точка К лежит между точками В и М. Найдите длины сторон параллелограмма.

Решение:

Пусть BK = KM = MC = x, тогда BC = 3x, так как BK + KM + MC = BC.

∠BAK = ∠KAD, так как AK - биссектриса угла BAD.

∠BKA = ∠KAD, как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK.

Следовательно, ∠BAK = ∠BKA, а значит, треугольник ABK - равнобедренный с основанием AK, и AB = BK = x.

Аналогично, ∠CDM = ∠MDA, так как DM - биссектриса угла CDA.

∠DMA = ∠MDA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DM.

Следовательно, ∠CDM = ∠DMA, а значит, треугольник CDM - равнобедренный с основанием DM, и CD = MC = x.

Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2 * (AB + BC) = 40 см.

Следовательно, AB + BC = 20 см.

Так как AB = x и BC = 3x, то x + 3x = 20 см, 4x = 20 см, x = 5 см.

Тогда AB = x = 5 см, BC = 3x = 3 * 5 = 15 см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 5 см и 15 см.