14. Саша и Гриша играли в баскетбол, где за каждое попадание мячом в корзину даётся одно, два или три очка. Оба мальчика попали мячом в корзину по 5 раз, при этом Саша набрал на 9 очков больше, чем Гриша. Сколько раз Саша получал одно очко за свой бросок? Запишите решение и ответ.

Пусть x - количество раз, когда Саша получал 1 очко, y - количество раз, когда Саша получал 2 очка, и z - количество раз, когда Саша получал 3 очка.

Тогда для Саши:

x + y + z = 5 (общее количество попаданий)

1x + 2y + 3z = S (общее количество очков, набранных Сашей)

Для Гриши:

a + b + c = 5 (общее количество попаданий)

1a + 2b + 3c = G (общее количество очков, набранных Гришей)

Известно, что Саша набрал на 9 очков больше, чем Гриша, значит:

S - G = 9

Или:

(1x + 2y + 3z) - (1a + 2b + 3c) = 9

x + y + z = 5, а + b + c = 5. Нужно найти такое решение, чтобы выполнялось условие S - G = 9.

Предположим, что Гриша набирал только по 1 очку, тогда G = 5 * 1 = 5. Тогда Саша должен набрать S = 5 + 9 = 14 очков.

Попробуем распределить очки Саши так:

Пусть z = 3 (три раза по 3 очка = 9 очков), тогда остается 14 - 9 = 5 очков. Пусть y = 2 (два раза по 2 очка = 4 очка), и x = 0 (0 раз по 1 очку), но тогда y + z = 3 + 2 = 5, но x = 0 (0 раз по 1 очку). Но тогда сумма x + y + z = 0+2+3 = 5, значит, все условия выполнены.

S = 0*1 + 2*2 + 3*3 = 0 + 4 + 9 = 13 (а нужно 14, значит, что-то не так).

Надо чтобы у Саши было x + y + z = 5, и 1x + 2y + 3z = 14

Теперь предположим, z = 2, тогда 3z = 6, 14 - 6 = 8. Нужно чтобы x + y = 3, и x + 2y = 8. Выразим x через первое уравнение: x = 3 - y. Подставим во второе: 3 - y + 2y = 8, тогда y = 5, но y должно быть не больше 3, значит, что-то не так. Теперь выразим y через первое уравнение: y= 3 - x. Подставим во второе: x + 2(3-x) = 8; x + 6 -2x = 8; -x = 2; x= -2, что невозможно.

z = 3, 3z = 9. Нужно, чтобы x + y = 2, x + 2y = 5. Выразим x через первое уравнение: x = 2 - y. Подставим во второе: 2 - y + 2y = 5; y = 3, y не может быть больше 2.

z = 4. Тогда остается 14 - 12 = 2. И х + y =1. x+2y = 2. Выразим x через первое уравнение: x = 1 - y. Подставим во второе уравнение 1 - y + 2y = 2; y = 1. Тогда х = 0. То есть z= 4, y =1, x = 0. 4 * 3 + 1 * 2 + 0 *1 = 14. А х+y+z = 5 - выполняется.

G= 5. 14-5=9. Гриша набирает все по одному очку.

Пусть z = 0, тогда 3z = 0. х+y=5. a =5. Должно быть 1х+2у - a = 9; x+2y - 5 =9; х+2у=14. Но х+у=5. Значит х=5-y. Подставим. 5-y +2y = 14; y =9. Это невозможно.

Пусть Саша получал 5 раз по 3 очка. Саша = 15 очков. Значит Гриша = 6 очков. z=0 y=3, x=2 . Проверим: 3*2 + 2*3 = 6+6 = 12 Не 6.

Если х = 5 у=0 и z=0 S=5 G=5 Значит надо чтобы Саша набирал 14.

Пусть Sasha: x+y+z=5 1x+2y+3z=14.

Grisha: x+y+z=5 1x+2y+3z=5

Наконец нашли способ! Решаем систему уравнений Саши:

x + y + z = 5

x + 2y + 3z = 14

Вычтем из второго уравнения первое уравнение:

y + 2z = 9

Выразим y через z: y = 9 - 2z.

Подставим это в первое уравнение:

x + (9 - 2z) + z = 5

x - z = -4

x = z - 4

Теперь у нас есть x = z - 4 и y = 9 - 2z.

Нужно подобрать такие целые неотрицательные значения z, чтобы и x, и y были неотрицательными.

Если z = 4, то x = 0 и y = 1. Проверим:

0 + 1 + 4 = 5 (верно)

0*1 + 1*2 + 4*3 = 0 + 2 + 12 = 14 (верно)

Значит, x = 0 (Саша ни разу не получал 1 очко), y = 1 (один раз 2 очка) и z = 4 (четыре раза 3 очка).

Саша не получал одно очко ни разу.

Ответ: 0