Саша и Ваня играют с мячом во дворе дома. Мяч летит в окно первого этажа, где установлена оконная решётка. Какова вероятность того, что мяч пролетит сквозь решётку, не задев её, при условии: клетки решётки имеют стороны 10,9 см, а радиус мяча составляет 4 см? (Результат округли до сотых.)

Для решения этой задачи нам необходимо рассмотреть квадратную клетку решетки и вписанный в неё круг, который будет представлять собой проекцию мяча. Мяч пролетит сквозь решётку, если центр мяча попадёт внутрь этого круга.

1. Размеры клетки и мяча:

• Сторона клетки решётки: $$a = 10.9 \text{ см}$$
• Радиус мяча: $$r = 4 \text{ см}$$

2. Диаметр мяча:

• Диаметр мяча: $$d = 2r = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$

3. Условие прохождения мяча:

Мяч пролетит через решетку, если его центр находится на расстоянии не более чем радиус мяча от центра клетки. То есть, мяч должен уместиться в клетке решетки, не касаясь её сторон. Для этого диаметр мяча должен быть меньше стороны клетки.

4. Сравнение размеров:

• Диаметр мяча (8 см) меньше стороны клетки (10.9 см). Значит, мяч может пролететь через клетку.

5. Расчет вероятности:

Чтобы вычислить вероятность, нужно найти отношение площади круга (проекции мяча) к площади квадрата (клетки решетки).

• Площадь круга: $$S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50.27 \text{ см}^2$$
• Площадь квадрата: $$S_{\text{квадрата}} = a^2 = 10.9^2 = 118.81 \text{ см}^2$$

6. Вероятность:

Вероятность того, что мяч пролетит сквозь решётку:

$$P = \frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} = \frac{16\pi}{118.81} \approx \frac{50.27}{118.81} \approx 0.4229$$

7. Округление до сотых:

Округлим полученное значение до сотых: $$0.4229 \approx 0.42$$

Ответ: 0.42