Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем количество квартир на этаже. Квартира № 465 находится в двенадцатом подъезде. Номера квартир начинаются с единицы, и на всех этажах число квартир одинаково. Если предположить, что в подъезде номера квартир идут последовательно, то количество квартир на этаже можно найти, разделив номер квартиры на количество этажей в подъезде (или предполагаемое количество этажей, если оно было бы известно). В данном случае, мы знаем, что дом пятиэтажный. Пусть x — количество квартир на этаже. Тогда в 12 подъездах будет 12 * x квартир. Если мы представим, что квартиры в подъезде идут последовательно, то 465-я квартира относится к 12-му подъезду. Поскольку мы не знаем, как именно нумеруются квартиры между подъездами, предположим, что номера квартир в каждом подъезде идут независимо, начиная с 1. Таким образом, 465-я квартира находится в 12-м подъезде. Пусть k - количество квартир на этаже. Тогда в каждом подъезде будет k квартир. В 12 подъездах будет 12*k квартир. Если номер квартиры 465, и мы знаем, что дом 5-этажный, то мы можем предположить, что квартиры в каждом подъезде нумеруются с 1 и идут последовательно по этажам. Например, в первом подъезде квартиры 1-5, во втором 6-10, и так далее. Однако, условие гласит, что номера квартир начинаются с единицы, и на всех этажах число квартир одинаково. Это значит, что в каждом подъезде номера квартир идут, например, 1-x, x+1-2x, и так далее. Если квартира 465, и это 12-й подъезд, то нам нужно понять, сколько квартир на этаже. Попробуем определить количество квартир на этаже, исходя из номера квартиры и подъезда. Если предположить, что квартиры идут подряд по всем подъездам, то 465-я квартира может быть в 12-м подъезде. Если на каждом этаже одинаковое количество квартир, и дом 5-этажный, то общее количество квартир в доме равно 12 подъездов * 5 этажей * (квартир на этаже). Это не помогает. Вернемся к условию: «12 подъезд, квартира 465». Если предположить, что нумерация квартир в каждом подъезде начинается с 1, и идет последовательно по этажам, то нам нужно найти, сколько квартир на этаже. Обозначим количество квартир на этаже как N. Тогда в 12 подъездах, квартиры нумеруются следующим образом. Например, в первом подъезде квартиры 1...N, во втором N+1...2N, и так далее. Если квартира 465 находится в 12-м подъезде, то это значит, что предыдущие 11 подъездов содержат 11 * N квартир. Значит, 465 > 11 * N. Также, квартира 465 находится в 12-м подъезде. Пусть количество квартир на этаже равно x. Тогда квартиры в 12-м подъезде будут иметь номера от (11*x + 1) до (12*x). Мы знаем, что квартира 465 находится в 12-м подъезде. Значит, 11*x + 1 <= 465 <= 12*x. Если предположить, что на каждом этаже одинаковое количество квартир, и номера квартир идут последовательно, то можно сказать, что в каждом подъезде 5 этажей. Тогда, если в каждом подъезде по 5 этажей, то квартиры в 12-м подъезде могут быть, например, 1-5, 6-10, 11-15, 16-20, 21-25, если на каждом этаже по 1 квартире. Это не так. Попробуем иначе. Квартира № 465. Подъезд № 12. Дом 5-этажный. На всех этажах число квартир одинаково. Номера квартир в доме начинаются с единицы. Это значит, что общее количество квартир в доме должно быть таким, чтобы 465-я квартира поместилась в 12-й подъезд. Пусть x - количество квартир на этаже. Тогда всего квартир в одном подъезде будет 5 * x. В 12 подъездах будет 12 * 5 * x = 60x квартир. Это слишком общая информация. Попробуем с другой стороны. Квартира 465. 12 подъезд. На каждом этаже одинаковое количество квартир. Давайте предположим, что в каждом подъезде нумерация квартир начинается с 1. То есть, в 1-м подъезде квартиры 1-X, во 2-м X+1 - 2X, ..., в 12-м 11X+1 - 12X. Значит, 11X + 1 <= 465 <= 12X. Отсюда, X >= 465/12 = 38.75. И X <= (465-1)/11 = 464/11 = 42.18. Значит, количество квартир на этаже может быть 39, 40, 41 или 42. Пусть в каждом подъезде одинаковое количество квартир на этаже. И это количество квартир равно N. Тогда в 12 подъездах, квартира 465. Значит, в 11 подъездах до этого было 11 * N квартир. И в 12-м подъезде квартира 465. Если предположить, что на каждом этаже по 10 квартир (просто для примера), то в 12 подъездах будет 12 * 10 = 120 квартир. Это не вяжется с 465. Давайте рассуждать от номера квартиры. Квартира 465. 12 подъезд. Дом 5-этажный. Предположим, что в каждом подъезде количество квартир на этаже одинаковое. Пусть это количество равно X. Тогда в 12 подъездах, квартира 465. Значит, количество квартир в 11 предыдущих подъездах равно 11 * X. Тогда 465 находится в 12-м подъезде. Значит, 11 * X < 465. И 465 <= 12 * X. Из этого следует, что X >= 465/12 = 38.75. И X <= (465-1)/11 = 464/11 = 42.18. Значит, количество квартир на этаже может быть 39, 40, 41, 42. Так как на всех этажах число квартир одинаково, и дом 5-этажный, то 465-я квартира находится в 12-м подъезде. Обозначим количество квартир на этаже как N. Тогда в 11 предыдущих подъездах находится 11 * N квартир. В 12-м подъезде квартира 465. Значит, 465 - 11*N - это номер квартиры внутри 12-го подъезда. Поскольку дом 5-этажный, и на каждом этаже одинаковое количество квартир, то квартиры в 12-м подъезде нумеруются от 11*N + 1 до 12*N. Значит, 11*N < 465 <= 12*N. Исходя из этого, N может быть 39, 40, 41, 42. Давайте возьмем N=40. Тогда в 11 подъездах 11 * 40 = 440 квартир. В 12-м подъезде квартиры с 441 по 480. Квартира 465 попадает в этот диапазон. Если N=40, то на каждом этаже по 40 квартир. Так как дом 5-этажный, то в каждом подъезде 5 * 40 = 200 квартир. Это не сходится, так как 465-я квартира должна быть в 12-м подъезде, который нумеруется начиная с 441. Значит, общее количество квартир в подъезде не 200. Переформулируем: в 12-м подъезде квартира № 465. Это значит, что 11 подъездов позади него содержат 11 * (количество квартир на этаже * 5 этажей). Это сложно. Вернемся к 11*N < 465 <= 12*N. Если N = 39, то 11*39 = 429. 12*39 = 468. Получается, что 429 < 465 <= 468. Это подходит. Значит, на каждом этаже по 39 квартир.
2. Шаг 2: Определяем этаж. Если на каждом этаже по 39 квартир, то в 12-м подъезде квартиры нумеруются: 1-39 (1-й этаж), 40-78 (2-й этаж), 79-117 (3-й этаж), 118-156 (4-й этаж), 157-195 (5-й этаж). Номер квартиры 465. В 11 предыдущих подъездах 11 * 39 * 5 = 2145 квартир. Это тоже не так. Нужно исходить из номера квартиры в подъезде. Квартира № 465, 12-й подъезд. Если на этаже 39 квартир, то сколько квартир в 12-м подъезде? 5 этажей * 39 квартир/этаж = 195 квартир в подъезде. Номер квартиры 465. Это не может быть в 12-м подъезде, если там всего 195 квартир. Давайте вернемся к 11*X < 465 <= 12*X. X - количество квартир на этаже. Значит, 465-я квартира находится в 12-м подъезде. Предыдущие 11 подъездов содержат 11 * X квартир. Нет, это не так. Номера квартир в доме начинаются с единицы. Это значит, что квартиры идут последовательно по всему дому. Квартира № 465. Подъезд № 12. Дом 5-этажный. На всех этажах число квартир одинаково. Пусть N - количество квартир на этаже. Тогда в каждом подъезде 5*N квартир. В 11 подъездах 11 * 5 * N = 55N квартир. Квартира 465 находится в 12-м подъезде. Значит, 55N < 465. N < 465/55 = 8.45. И 465 <= 12 * 5 * N = 60N. N >= 465/60 = 7.75. Значит, количество квартир на этаже (N) может быть 8. Если N=8, то в каждом подъезде 5 * 8 = 40 квартир. В 11 подъездах 11 * 40 = 440 квартир. В 12-м подъезде квартиры с 441 по 480. Квартира № 465 находится в этом диапазоне. Значит, на каждом этаже по 8 квартир.
3. Шаг 3: Находим этаж в 12-м подъезде. Квартиры в 12-м подъезде начинаются с 441. На каждом этаже по 8 квартир. 1-й этаж: 441-448. 2-й этаж: 449-456. 3-й этаж: 457-464. 4-й этаж: 465-472. Квартира № 465 находится на 4-м этаже.

Ответ: 4