22 school-pro.ги подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике 1. Баржа прошла по течению реки 72 км и, повернув обратно, прошла ещё 120 км, затратив на весь путь 6 ч. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 2. Расстояние между пристанями А и В равно 84 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 4 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 96 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 3. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

1. Задача про баржу:

• Пусть \( x \) км/ч - собственная скорость баржи.
• Тогда скорость по течению: \( x + 3 \) км/ч, против течения: \( x - 3 \) км/ч.
• Время по течению: \( \frac{72}{x + 3} \) ч, время против течения: \( \frac{120}{x - 3} \) ч.
• Общее время: 6 ч.

Составим уравнение:

\[\frac{72}{x + 3} + \frac{120}{x - 3} = 6\]

Решаем уравнение:

1. Умножаем обе части уравнения на \( (x + 3)(x - 3) \), чтобы избавиться от дробей:
\[72(x - 3) + 120(x + 3) = 6(x^2 - 9)\]
2. Раскрываем скобки:
\[72x - 216 + 120x + 360 = 6x^2 - 54\]
3. Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону:
\[6x^2 - 192x - 198 = 0\]
4. Делим все на 6:
\[x^2 - 32x - 33 = 0\]
5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 1024 + 132 = 1156\] \[x = \frac{32 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{32 \pm 34}{2}\]
6. Получаем два корня:
\[x_1 = \frac{32 + 34}{2} = 33, \quad x_2 = \frac{32 - 34}{2} = -1\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 33 км/ч

2. Задача про лодку и плот:

• Пусть \( x \) км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.
• Скорость плота: 4 км/ч.
• Время, которое плот был в пути до встречи с лодкой: \( t \) ч.
• Время, которое лодка была в пути: \( t - 4 \) ч.
• Плот проплыл: 96 км, значит, \( t = \frac{96}{4} = 24 \) ч.
• Лодка плыла по течению до пункта B: \( \frac{84}{x + 4} \) ч.
• Лодка плыла против течения из пункта B в A: \( \frac{84}{x - 4} \) ч.
• Общее время лодки в пути: \( 24 - 4 = 20 \) ч.

Составим уравнение:

\[\frac{84}{x + 4} + \frac{84}{x - 4} = 20\]

Решаем уравнение:

1. Умножаем обе части уравнения на \( (x + 4)(x - 4) \), чтобы избавиться от дробей:
\[84(x - 4) + 84(x + 4) = 20(x^2 - 16)\]
2. Раскрываем скобки:
\[84x - 336 + 84x + 336 = 20x^2 - 320\]
3. Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону:
\[20x^2 - 168x - 320 = 0\]
4. Делим все на 4:
\[5x^2 - 42x - 80 = 0\]
5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-42)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 1764 + 1600 = 3364\] \[x = \frac{42 \pm \sqrt{3364}}{10} = \frac{42 \pm 58}{10}\]
6. Получаем два корня:
\[x_1 = \frac{42 + 58}{10} = 10, \quad x_2 = \frac{42 - 58}{10} = -1.6\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 10 км/ч

3. Задача про моторную лодку:

• Пусть \( x \) км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.
• Время против течения: \( \frac{120}{x - 4} \) ч, время по течению: \( \frac{120}{x + 4} \) ч.
• Время на обратный путь на 4 часа меньше.

Составим уравнение:

\[\frac{120}{x - 4} - \frac{120}{x + 4} = 4\]

Решаем уравнение:

1. Умножаем обе части уравнения на \( (x - 4)(x + 4) \), чтобы избавиться от дробей:
\[120(x + 4) - 120(x - 4) = 4(x^2 - 16)\]
2. Раскрываем скобки:
\[120x + 480 - 120x + 480 = 4x^2 - 64\]
3. Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону:
\[4x^2 - 1024 = 0\]
4. Делим все на 4:
\[x^2 - 256 = 0\]
5. Решаем уравнение:
\[x^2 = 256\] \[x = \pm \sqrt{256} = \pm 16\]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 16 км/ч