Сделайте преобразование выражения: \(\frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, представим основания степеней в виде простых множителей.

1. Представим 24 как произведение простых чисел: \( 24 = 2^3 \cdot 3 \).
2. Подставим это в числитель: \( 24^4 = (2^3 \cdot 3)^4 = (2^3)^4 \cdot 3^4 = 2^{12} \cdot 3^4 \).
3. Представим 8 как степень двойки: \( 8 = 2^3 \).
4. Подставим это в знаменатель: \( 3^2 \cdot 8^3 = 3^2 \cdot (2^3)^3 = 3^2 \cdot 2^9 \).
5. Теперь подставим полученные выражения в дробь: \[ \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} = \frac{2^{12} \cdot 3^4}{3^2 \cdot 2^9} \]
6. Применим свойства степеней (при делении степени вычитаются): \[ \frac{2^{12}}{2^9} \cdot \frac{3^4}{3^2} = 2^{12-9} \cdot 3^{4-2} = 2^3 \cdot 3^2 \]
7. Вычислим результат: \( 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \).

Ответ: 72