Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, отсекает от окружности основания дугу 120°. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна 4 см, а расстояние между основанием высоты конуса и основанием сечения равно 4√3 см. Ответ запишите в квадратных сантиметрах.

Сечение конуса является равнобедренным треугольником. Его основание — хорда окружности основания конуса.

1. Центральный угол, опирающийся на хорду, равен \(120^\circ\). Расстояние от центра окружности до хорды равно \(4\sqrt{3}\) см. Поэтому радиус основания:

   \(R\cos 60^\circ=4\sqrt{3}\),

   \(R\cdot\frac{1}{2}=4\sqrt{3}\), откуда \(R=8\sqrt{3}\) см.

2. Найдём длину хорды — основания сечения:

   \(AB=2R\sin 60^\circ=2\cdot8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=24\) см.

3. Высота сечения образует с высотой конуса и расстоянием от центра основания до хорды прямоугольный треугольник. Поэтому высота сечения равна:

   \(h_{\text{сеч.}}=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8\) см.

4. Площадь сечения:

   \(S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h_{\text{сеч.}}=\frac{1}{2}\cdot24\cdot8=96\text{ см}^2\).

Ответ: 96