Секущие, проведенные из точки K, отсекают на окружности равные дуги MN и FE. Известны длины отрезков MN = 11, KF = 7. Найдите длину отрезка секущей KN.

Ответ: 18

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вспомним теорему о секущих, проведенных из одной точки. Если из точки K проведены две секущие к окружности, пересекающие ее в точках M, N и F, E соответственно, то выполняется соотношение: \[KM \cdot KN = KF \cdot KE\] Где KM, KN, KF и KE — длины соответствующих отрезков секущих.
2. Шаг 2: Заметим, что дуги MN и FE равны, следовательно, равны и хорды, стягивающие эти дуги, то есть MN = FE = 11.
3. Шаг 3: Обозначим длину отрезка KM как x, тогда KN = KM + MN = x + 11. Также обозначим длину отрезка KE как KF + FE = 7 + 11 = 18.
4. Шаг 4: Подставим известные значения в теорему о секущих: \[x \cdot (x + 11) = 7 \cdot 18\] \[x^2 + 11x = 126\] \[x^2 + 11x - 126 = 0\]
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно x: Дискриминант D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-126) = 121 + 504 = 625 Корни квадратного уравнения: \[x_1 = \frac{-11 + \sqrt{625}}{2} = \frac{-11 + 25}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-11 - \sqrt{625}}{2} = \frac{-11 - 25}{2} = \frac{-36}{2} = -18\] Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то x = 7.
6. Шаг 6: Теперь найдем длину отрезка KN: \[KN = KM + MN = 7 + 11 = 18\]

Ответ: 18