Семёнова М. Решите уравнения и неравенства. 1) \(\(\sqrt{x^2+x+1}\) = x-4\ 2) \(\log\)_{1/3} x = -2\ 3) 9^x - 3^x - 6 = 0\ 4) \(\lg\) (x^2-17) > \(\lg\) (x+3)\ 5) Решите неравенства. 1) \(\log\)_{1/7} (2x-6) < \(\log\)_{1/7} x\ 2) 3^x > \(\frac{1}{9}\)

Решение:

1. \(\sqrt{x^2+x+1} = x-4\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2+x+1 = (x-4)^2 \)
2. Раскроем скобки: \( x^2+x+1 = x^2 - 8x + 16 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2+x+1 - x^2 + 8x - 16 = 0 \)
4. Упростим: \( 9x - 15 = 0 \)
5. Решим линейное уравнение: \( 9x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \)
6. Проверим ОДЗ: \( x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \). \( x = \frac{5}{3} \) не удовлетворяет условию \( x \ge 4 \).

Ответ: нет решений.

2. \(\log_{1/3} x = -2\)

1. По определению логарифма: \( x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \)
2. Вычислим: \( x = 3^2 = 9 \)
3. Проверим ОДЗ: \( x > 0 \). \( x=9 \) удовлетворяет условию.

Ответ: \( x=9 \).

3. \(9^x - 3^x - 6 = 0\)

1. Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \).
2. Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^x \), где \( y > 0 \).
3. Уравнение примет вид: \( y^2 - y - 6 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)
5. Найдем корни: \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2 \).
6. Учитывая, что \( y > 0 \), подходит только \( y = 3 \).
7. Вернёмся к замене: \( 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 \).

Ответ: \( x=1 \).

4. \(\lg (x^2-17) > \lg (x+3)\)

1. ОДЗ: \( x^2-17 > 0 \) и \( x+3 > 0 \).
2. Из \( x+3 > 0 \) следует \( x > -3 \).
3. Из \( x^2-17 > 0 \) следует \( x^2 > 17 \), то есть \( x > \sqrt{17} \) или \( x < -\sqrt{17} \).
4. Объединяя условия, получаем \( x > \sqrt{17} \) (так как \( \sqrt{17} \approx 4.12 \), что больше -3).
5. Так как основание десятичного логарифма \( 10 > 1 \), неравенство можно переписать как: \( x^2-17 > x+3 \)
6. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 - x - 20 > 0 \)
7. Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - x - 20 = 0 \). Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \). \( x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \). \( x_1 = \frac{1+9}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{1-9}{2} = -4 \).
8. Неравенство \( x^2 - x - 20 > 0 \) выполняется при \( x < -4 \) или \( x > 5 \).
9. Учитывая ОДЗ \( x > \sqrt{17} \), пересечением будет \( x > 5 \).

Ответ: \( x > 5 \).

5. Решите неравенства.

1. \(\log_{1/7} (2x-6) < \log_{1/7} x\)

1. ОДЗ: \( 2x-6 > 0 \) и \( x > 0 \).
2. Из \( 2x-6 > 0 \) следует \( 2x > 6 \Rightarrow x > 3 \).
3. Объединяя условия, получаем \( x > 3 \).
4. Так как основание логарифма \( \frac{1}{7} < 1 \), при раскрытии логарифма знак неравенства меняется: \( 2x-6 > x \)
5. Решим полученное неравенство: \( 2x - x > 6 \Rightarrow x > 6 \).
6. Пересечение \( x > 3 \) и \( x > 6 \) даёт \( x > 6 \).

Ответ: \( x > 6 \).

2. \(3^x > \frac{1}{9}\)

1. Перепишем правую часть с тем же основанием: \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \).
2. Неравенство имеет вид: \( 3^x > 3^{-2} \).
3. Так как основание степени \( 3 > 1 \), показатель степени \( x \) должен быть больше показателя правой части: \( x > -2 \).

Ответ: \( x > -2 \).