370 середина гипотенузы. Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с цен- тром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности равен 5 см.

Решение:

• Рассмотрим треугольник \( \bigtriangleup AOB \), где \( O \) — центр окружности, \( B \) — точка касания окружности со стороной \( AB \), \( A \) — вершина угла \( BAC \).
• Так как \( AB \) — касательная к окружности, то \( OB \) перпендикулярно \( AB \) (свойство касательной). Следовательно, \( \angle OBA = 90^\circ \).
• Угол \( BAC = 60^\circ \) по условию. Поскольку \( AO \) — биссектриса угла \( BAC \) (так как касательные, проведенные из одной точки, образуют равные углы с линией, соединяющей эту точку с центром окружности), то \( \angle OAB = \frac{1}{2} \cdot \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).
• Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \bigtriangleup AOB \). В нем \( \angle OBA = 90^\circ \), \( \angle OAB = 30^\circ \), а \( OB = 5 \) см (радиус окружности).
• Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В нашем случае \( OB \) — катет, лежащий против угла \( \angle OAB = 30^\circ \), а \( AO \) — гипотенуза.
• Тогда \( OB = \frac{1}{2} AO \), откуда \( AO = 2 \cdot OB = 2 \cdot 5 = 10 \) см.

Ответ: 10 см.