Середина $$M$$ стороны $$AD$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $$BC$$, если $$AD = 10$$, а углы $$C$$ и $$D$$ четырёхугольника равны соответственно $$110^\circ$$ и $$65^\circ$$.

Рассмотрим четырехугольник $$ABCD$$. Так как точка $$M$$ равноудалена от всех вершин, то $$MA = MB = MC = MD$$. Поскольку $$M$$ - середина $$AD$$, то $$AM = MD = \frac{AD}{2} = \frac{10}{2} = 5$$. Следовательно, $$MB = MC = 5$$. $$\triangle AMD$$ - равнобедренный, $$\angle MAD = \angle MDA$$. Аналогично, $$\triangle BMC$$ - равнобедренный, $$\angle MBC = \angle MCB$$. Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$, то есть $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$. Пусть $$\angle A = \alpha$$, $$\angle B = \beta$$, $$\angle C = 110^\circ$$, $$\angle D = 65^\circ$$. Тогда $$\alpha + \beta + 110^\circ + 65^\circ = 360^\circ$$, следовательно $$\alpha + \beta = 360^\circ - 175^\circ = 185^\circ$$. $$\angle AMD = 180^\circ - (\angle MAD + \angle MDA) = 180^\circ - 2\alpha$$. $$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - 2\angle MBC$$. $$\angle AMD + \angle BMC + \angle AMB + \angle CMD = 360^\circ$$. Поскольку $$MA=MB$$, то треугольник $$MAB$$ равнобедренный. $$MD=MC$$, то треугольник $$MCD$$ равнобедренный. $$\angle A + \angle D = \alpha + 65^\circ$$ $$\angle B + \angle C = \beta + 110^\circ$$ Так как $$MA=MB=MC=MD$$, вокруг четырехугольника $$ABCD$$ можно описать окружность с центром в точке $$M$$. Тогда, так как точка $$M$$ является центром описанной окружности и лежит на стороне $$AD$$, то $$AD$$ - диаметр этой окружности. Следовательно, угол $$B$$ и угол $$C$$ опираются на диаметр, а значит $$\angle ABC = 90^\circ$$ и $$\angle BCD = 90^\circ$$. Но по условию $$\angle BCD = 110^\circ$$, следовательно условие противоречиво. Так как $$\angle ADC = 65^\circ$$, то $$\angle DAB = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$. Угол $$ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$. В треугольнике $$AMB$$: $$AM=MB=5$$, $$\angle MAB = \angle MBA = \alpha$$. Тогда $$\angle AMB = 180 - 2\alpha$$. В треугольнике $$MDC$$: $$MD=MC=5$$, $$\angle MDC = \angle MCD = 65$$. Тогда $$\angle CMD = 180 - 2*65 = 180 - 130 = 50$$. $$\angle AMC = 180$$. $$\angle AMD + \angle CMD = 180 \Rightarrow \angle AMD = 180 - 50 = 130$$. Тогда $$\angle MAD = \angle MDA = (180 - 130) / 2 = 25$$. $$\angle BAC = 115 - 25 = 90$$. $$\angle CBA = 70$$. $$\angle MCB = \angle MBC = x$$. В треугольнике $$MBC$$ стороны $$MB=MC=5$$, значит он равнобедренный. Тогда $$\angle BMC = 180 - 2x$$. $$\angle CMD = 50$$. $$\angle DMA = 130$$. $$\angle AMB = 360 - 50 - 130 - (180 - 2x) = 360 - 180 - 180 + 2x = 2x$$. \\ $$\angle DAB = 25 \\angle ABC = 90$$ По теореме синусов:\ $$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{MC}{\sin \angle ABC}$$\\ $$\frac{BC}{\sin 25} = \frac{5}{\sin 70}$$\\ $$\frac{BC}{\sin 70} = \frac{5}{\sin 65}$$\\ $$\frac{BC}{5} = \frac{\sin 70}{\sin 65}$$\\ $$\frac{BC}{5} = \frac{\sin 25}{\sin 70} => BC = \frac{5 \sin 25}{\sin 70} \approx \frac{5 \cdot 0.42}{0.94} \approx 2.23$$\\ По теореме косинусов:\\ $$BC^2 = MB^2 + MC^2 - 2 \cdot MB \cdot MC \cdot \cos \angle BMC$$\\ $$BC^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos \angle BMC$$\\ $$BC^2 = 50 - 50 \cdot \cos \angle BMC$$\\ $$\angle BMC = 180 - (110+65) = 50 = 5$$ Итого, $$BC = 5$$.