681 Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ = 18 см.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренного треугольника и серединного перпендикуляра.

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный и серединный перпендикуляр проведен к стороне AB, то AE = BE.

2. Периметр треугольника AEC равен сумме длин сторон AE, EC и AC. Запишем это:

   $$P_{\triangle AEC} = AE + EC + AC = 27 \text{ см}$$

3. Нам известно, что AB = 18 см. Так как AE = BE и AE + BE = AB, то

   $$AE = BE = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}$$

4. Теперь подставим значение AE в выражение для периметра:

   $$9 + EC + AC = 27$$

   $$EC + AC = 27 - 9 = 18 \text{ см}$$

5. Поскольку BC = BE + EC, то BC = 9 + EC. В равнобедренном треугольнике AB = BC, поэтому:

   $$BC = 18 \text{ см}$$

6. Тогда:

   $$EC = BC - BE = 18 - 9 = 9 \text{ см}$$

7. Теперь можем найти AC:

   $$AC = 18 - EC = 18 - 9 = 9 \text{ см}$$

Ответ: 9 см.