Середины сторон параллелограмма образуют прямоугольник. Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

Пусть \(E,F,G,H\) — середины сторон параллелограмма \(ABCD\). По теореме о средней линии треугольника:

\[EF=HG=\frac{1}{2}AC,\qquad FG=HE=\frac{1}{2}BD.\]

Четырёхугольник, соединяющий середины сторон любого параллелограмма, является параллелограммом. По условию он прямоугольник, значит, его диагонали равны:

\[EG=FH.\]

Но в данном параллелограмме \(EG\) и \(FH\) равны половинам диагоналей исходного параллелограмма, поэтому диагонали \(AC\) и \(BD\) исходного параллелограмма равны:

\[AC=BD.\]

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Однако для доказательства ромба рассмотрим стороны полученного прямоугольника: его соседние стороны перпендикулярны, следовательно, диагонали исходного параллелограмма перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Следовательно, параллелограмм \(ABCD\) — ромб.