Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n — натуральное число, которое больше 3 и меньше 12. 1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные значения n от 4 до 11.

Пусть исходное число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц. После вставки цифры 3 получается число \(100a+30+b\).

По условию:

\(100a+30+b=n(10a+b)\).

Проверим целые значения \(n\) от 4 до 11. Для \(n=4,5,6,7,8,10\) уравнение не даёт допустимых цифр \(a\) и \(b\) (\(1\le a\le9\), \(0\le b\le9\)).

При \(n=9\) уравнение сводится к \(10a+30=8b\). Подходит \(a=1\), \(b=5\): исходное число 15, а после вставки цифры 3 получается 135; \(135=9\cdot15\).

При \(n=11\) уравнение сводится к \(a+b=3\). Подходят пары цифр \((1,2)\), \((2,1)\) и \((3,0)\): \(132=11\cdot12\), \(231=11\cdot21\), \(330=11\cdot30\).

Ответ: \(n=9\) и \(n=11\).