Серёжа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Серёжа? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Решение:

Обозначим задуманные числа как \(a\) и \(b\). Из условия задачи мы знаем, что:

• Числа натуральные (целые положительные).
• Их сумма равна 22: \(a + b = 22\).
• Разность этих чисел (абсолютное значение) меньше 14 и больше 10: \(10 < |a - b| < 14\).

Так как \(a\) и \(b\) натуральные числа, их сумма равна 22. Возможные пары чисел, сумма которых равна 22:

• (1, 21), (2, 20), (3, 19), (4, 18), (5, 17), (6, 16), (7, 15), (8, 14), (9, 13), (10, 12), (11, 11)

Теперь найдём разность для каждой пары и проверим условие \(10 < |a - b| < 14\):

• \(|1 - 21| = 20\) (не подходит)
• \(|2 - 20| = 18\) (не подходит)
• \(|3 - 19| = 16\) (не подходит)
• \(|4 - 18| = 14\) (не подходит, так как должно быть строго меньше 14)
• \(|5 - 17| = 12\) (подходит, так как \(10 < 12 < 14\))
• \(|6 - 16| = 10\) (не подходит, так как должно быть строго больше 10)
• \(|7 - 15| = 8\) (не подходит)
• \(|8 - 14| = 6\) (не подходит)
• \(|9 - 13| = 4\) (не подходит)
• \(|10 - 12| = 2\) (не подходит)
• \(|11 - 11| = 0\) (не подходит)

Единственная пара чисел, удовлетворяющая всем условиям, — это 5 и 17.

Доказательство, что других вариантов нет:

Мы перебрали все возможные пары натуральных чисел, сумма которых равна 22. Для каждой пары мы рассчитали абсолютное значение разности и проверили, попадает ли оно в интервал (10; 14). Только пара (5, 17) даёт разность 12, которая находится в этом интервале.

Ответ: числа 5 и 17.