17) Серёжа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 22, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14, но больше 10. Какие два числа задумал Серёжа? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Решение. Ответ:

Решение:

Пусть первое число - $$x$$, а второе число - $$y$$.

1. Из условия задачи известно, что сумма чисел равна 22:

$$x + y = 22$$

2. Также известно, что разность чисел меньше 14, но больше 10. Это можно записать как двойное неравенство:

$$10 < |x - y| < 14$$

Рассмотрим два случая:

a) $$x > y$$, тогда $$10 < x - y < 14$$

б) $$x < y$$, тогда $$10 < y - x < 14$$

3. Выразим $$y$$ через $$x$$ из первого уравнения:

$$y = 22 - x$$

4. Подставим это выражение для $$y$$ в неравенства для обоих случаев.

a) $$10 < x - (22 - x) < 14$$

$$10 < 2x - 22 < 14$$

$$32 < 2x < 36$$

$$16 < x < 18$$

Так как $$x$$ - натуральное число, то $$x$$ может быть только 17.

Тогда $$y = 22 - 17 = 5$$

б) $$10 < (22 - x) - x < 14$$

$$10 < 22 - 2x < 14$$

$$-12 < -2x < -8$$

$$8 < 2x < 12$$

$$4 < x < 6$$

Так как $$x$$ - натуральное число, то $$x$$ может быть только 5.

Тогда $$y = 22 - 5 = 17$$

5. Проверим найденные пары чисел.

a) $$x = 17, y = 5$$

$$x + y = 17 + 5 = 22$$ (верно)

$$|x - y| = |17 - 5| = 12$$ ( $$10 < 12 < 14$$ - верно)

б) $$x = 5, y = 17$$

$$x + y = 5 + 17 = 22$$ (верно)

$$|x - y| = |5 - 17| = 12$$ ( $$10 < 12 < 14$$ - верно)

Оба варианта подходят.

Ответ: 5 и 17, 17 и 5.

Разъяснение для ученика:

* Внимательно прочитай условие задачи и выдели ключевые моменты: сумма чисел равна 22, а разность лежит в диапазоне от 10 до 14.
* Обозначь неизвестные числа переменными, например, $$x$$ и $$y$$.
* Составь уравнения и неравенства на основе условия задачи. В данном случае у нас есть уравнение для суммы и двойное неравенство для разности.
* Реши полученные уравнения и неравенства. Важно рассмотреть оба случая для разности: когда $$x > y$$ и когда $$x < y$$.
* Проверь полученные решения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют всем условиям задачи. Если решения не подходят, значит, где-то была допущена ошибка.