Сфера с центром в точке S проходит через вершины основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Отношение площади полной поверхности пирамиды к площади поверхности сферы равно 1 : 2. Найдите величину угла ASB.

Пусть сторона квадрата основания равна \(a\), а боковое ребро пирамиды равно радиусу сферы \(R\). Так как сфера проходит через вершины основания, её радиус равен диагонали квадрата, делённой на 2:

\[R=SA=SB=\frac{a\sqrt2}{2}.\]

Площадь основания:

\[S_{\text{осн}}=a^2.\]

Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(R\) и основанием \(a\). Его высота к основанию \(a\) равна

\[h=\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac a2.\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_1=\frac12ah=\frac{a^2}{4}.\]

Поэтому площадь полной поверхности пирамиды:

\[S_{\text{пир}}=a^2+4\cdot\frac{a^2}{4}=2a^2.\]

По условию \(S_{\text{пир}}:S_{\text{сф}}=1:2\), значит

\[S_{\text{сф}}=2S_{\text{пир}}=4a^2.\]

Следовательно,

\[4\pi R^2=4a^2,\qquad \pi R^2=a^2.\]

Для треугольника \(ASB\) по теореме косинусов:

\[AB^2=SA^2+SB^2-2\cdot SA\cdot SB\cos\angle ASB.\]

Подставляя \(AB=a\) и \(SA=SB=R=\frac{a\sqrt2}{2}\), получаем

\[a^2=2R^2(1-\cos\angle ASB).\]

Так как \(R^2=\frac{a^2}{\pi}\), то

\[1=\frac{2}{\pi}(1-\cos\angle ASB),\qquad \cos\angle ASB=1-\frac\pi2.\]

Следовательно, \(\angle ASB=\arccos\left(1-\frac\pi2\right)\approx 107.5^\circ\).

Ответ: \(\arccos\left(1-\frac\pi2\right)\approx107.5^\circ\).