Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

1. Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Проведём через вершину B прямую a, параллельную стороне AC. Рассмотрим углы, образованные прямой a и сторонами AB и BC треугольника.

Угол 1 равен углу A как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и AC и секущей AB. Угол 3 равен углу C как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и AC и секущей BC. Угол 2 равен углу B.

Сумма углов 1, 2 и 3 равна 180° (развёрнутый угол), следовательно, сумма углов A, B и C также равна 180°.

2. Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Доказательство:

Пусть угол 4 — внешний угол треугольника ABC, смежный с углом C. Тогда \[∠4 + ∠C = 180°\] как смежные углы. Также, \[∠A + ∠B + ∠C = 180°\] как сумма углов треугольника.

Выразим угол C из второго уравнения: \[∠C = 180° - (∠A + ∠B)\]

Подставим это выражение в первое уравнение: \[∠4 + 180° - (∠A + ∠B) = 180°\]

Отсюда \[∠4 = ∠A + ∠B\]

То есть внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Ответ: Сформулирована и доказана теорема о сумме углов треугольника, дано определение внешнего угла треугольника и доказано, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!