4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. 5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников. 7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников. 8 Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тре- угольника. 9 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, ечи- тая от вершины. 10 Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря- мого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники. 11 Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональ- ных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Ответ: Ниже представлены формулировки и доказательства теорем.

4. Теорема об отношении площадей подобных треугольников

• Формулировка: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Доказательство:
• Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁, такие, что ABC ∼ A₁B₁C₁.
• Обозначим коэффициент подобия как k, то есть AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁ = k.
• Площадь треугольника ABC можно выразить как S = (1/2) * AB * AC * sin(A).
• Площадь треугольника A₁B₁C₁ можно выразить как S₁ = (1/2) * A₁B₁ * A₁C₁ * sin(A₁).
• Так как углы A и A₁ равны (из подобия треугольников), sin(A) = sin(A₁).
• Отношение площадей S/S₁ = (AB * AC) / (A₁B₁ * A₁C₁) = (k * A₁B₁ * k * A₁C₁) / (A₁B₁ * A₁C₁) = k².
• Таким образом, S/S₁ = k², что и требовалось доказать.

5. Первый признак подобия треугольников

• Формулировка: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Доказательство:
• Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.
• Тогда и третий угол ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠A₁ - ∠B₁ = ∠C₁.
• Следовательно, все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника.
• По определению, если углы треугольников равны, то треугольники подобны.

6. Второй признак подобия треугольников

• Формулировка: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
• Доказательство:
• Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.
• Отложим на стороне AB отрезок AD = A₁B₁, а на стороне AC отрезок AE = A₁C₁.
• Тогда треугольники ADE и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.
• Из условия AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ следует, что AB/AD = AC/AE, то есть AD/AB = AE/AC.
• Следовательно, DE || BC (по теореме Фалеса).
• Таким образом, ∠ADE = ∠ABC и ∠AED = ∠ACB.
• Так как треугольники ADE и A₁B₁C₁ равны, то и треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

7. Третий признак подобия треугольников

• Формулировка: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Доказательство:
• Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁.
• Обозначим коэффициент пропорциональности как k, то есть AB = k * A₁B₁, BC = k * B₁C₁, CA = k * C₁A₁.
• По теореме косинусов, cos(A) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC).
• cos(A₁) = (A₁B₁² + A₁C₁² - B₁C₁²) / (2 * A₁B₁ * A₁C₁).
• Подставим выражения для сторон треугольника ABC через стороны треугольника A₁B₁C₁:
• cos(A) = (k² * A₁B₁² + k² * A₁C₁² - k² * B₁C₁²) / (2 * k * A₁B₁ * k * A₁C₁) = (A₁B₁² + A₁C₁² - B₁C₁²) / (2 * A₁B₁ * A₁C₁) = cos(A₁).
• Таким образом, ∠A = ∠A₁. Аналогично можно доказать, что ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁.
• Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по первому признаку подобия.

8. Средняя линия треугольника

• Определение: Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
• Теорема: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
• Доказательство:
• Пусть DE - средняя линия треугольника ABC, где D - середина AB, E - середина AC.
• Тогда AD = DB и AE = EC.
• Рассмотрим треугольники ADE и ABC. ∠A - общий.
• AD/AB = AE/AC = 1/2.
• Следовательно, треугольники ADE и ABC подобны по второму признаку подобия.
• Из подобия следует, что DE/BC = 1/2, то есть DE = (1/2) * BC.
• Также ∠ADE = ∠ABC, следовательно, DE || BC.

9. Свойство медиан треугольника

• Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Доказательство:
• Пусть AA₁, BB₁, CC₁ - медианы треугольника ABC, O - точка их пересечения.
• Рассмотрим медианы BB₁ и CC₁, пусть K - точка их пересечения.
• Проведём B₁C₁. B₁C₁ - средняя линия треугольника ABC, следовательно, B₁C₁ || BC и B₁C₁ = (1/2) * BC.
• Треугольники B₁KC₁ и BKC подобны (два угла соответственно равны).
• Тогда BK/KB₁ = CK/KC₁ = BC/B₁C₁ = 2.
• Следовательно, точка K делит медианы BB₁ и CC₁ в отношении 2:1, считая от вершины.
• Аналогично доказывается для медианы AA₁.
• Таким образом, все три медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

10. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла

• Теорема: Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному.
• Доказательство:
• Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CD - высота, проведённая из вершины C к гипотенузе AB.
• Рассмотрим треугольники ACD и ABC. ∠A - общий, ∠ADC = ∠ACB = 90°. Следовательно, треугольники ACD и ABC подобны по первому признаку подобия.
• Рассмотрим треугольники CBD и ABC. ∠B - общий, ∠CDB = ∠ACB = 90°. Следовательно, треугольники CBD и ABC подобны по первому признаку подобия.
• Так как треугольники ACD и CBD подобны треугольнику ABC, то они подобны между собой.

11. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

• Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.
• Доказательство:
• Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CD - высота, проведённая из вершины C к гипотенузе AB.
• Тогда AD - проекция катета AC на гипотенузу AB, DB - проекция катета BC на гипотенузу AB.
• Из подобия треугольников ACD и CBD следует, что CD/AD = DB/CD, то есть CD² = AD * DB.
• Из подобия треугольников ABC и ACD следует, что AC/AB = AD/AC, то есть AC² = AB * AD.
• Из подобия треугольников ABC и CBD следует, что BC/AB = DB/BC, то есть BC² = AB * DB.

Ответ: Ниже представлены формулировки и доказательства теорем.