Шар массы m₁, движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся шар массы m₂ (рис. 1). Могут ли после соударения скорости шаров, v₁ и v₂, иметь направления, показанные на рис. 2 (а и б)? Выберите один ответ: a. могут в случае а; b. могут в обоих случаях; c. не могут ни в одном из указанных случаев; d. могут в случае б.

Решение:

Закон сохранения импульса гласит, что суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия. В данной задаче импульс системы до столкновения направлен вдоль горизонтальной оси.

Случай а:

На рис. 2 (а) векторы скоростей \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) после столкновения направлены под углами к исходному направлению. Однако, если сложить эти векторы (импульс системы после столкновения), их сумма не будет лежать на исходной оси, если только \( \alpha \) не равно 0 или 180 градусов. В общем случае, сохранение импульса в горизонтальном направлении не выполняется, если векторы \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) не имеют горизонтальной составляющей, сумма которой равна исходному импульсу.

Случай б:

На рис. 2 (б) вектор скорости \( \vec{v}_1 \) направлен вертикально вверх, а \( \vec{v}_2 \) — под углом. Импульс системы до столкновения был направлен горизонтально. Для сохранения импульса, сумма импульсов после столкновения также должна быть направлена горизонтально. Если \( \vec{v}_1 \) имеет только вертикальную составляющую, а \( \vec{v}_2 \) — составляющие по горизонтали и вертикали, то сумма горизонтальных составляющих должна быть равна исходному горизонтальному импульсу, а сумма вертикальных составляющих должна быть равна нулю. Такой случай возможен, например, при упругом столкновении.

Однако, если рассмотреть вариант, когда \( m_1 \) и \( m_2 \) — это шары, то после столкновения векторы импульсов \( m_1\vec{v}_1 \) и \( m_2\vec{v}_2 \) должны в сумме давать исходный импульс \( m_1\vec{v} \). В случае «а», импульс \( m_2\vec{v}_2 \) имеет как горизонтальную, так и вертикальную составляющую. Импульс \( m_1\vec{v}_1 \) также имеет составляющие. Сумма векторов \( m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 \) может быть равна \( m_1\vec{v} \). В случае «б», \( \vec{v}_1 \) направлена вертикально. Это означает, что \( m_1 \) после столкновения двигается строго вверх. Для сохранения горизонтального импульса, \( \vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную составляющую, равную \( \vec{v} \) (если \( m_1 = m_2 \) и столкновение лобовое, но здесь оно не лобовое). Более того, если \( \vec{v}_1 \) вертикальна, то \( m_1\vec{v}_1 \) имеет только вертикальную компоненту. Следовательно, \( m_2\vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную компоненту, равную \( m_1\vec{v} \), и вертикальную компоненту, равную \( -m_1\vec{v}_1 \). Это возможно.

Рассмотрим закон сохранения энергии. Если столкновение упругое, то суммарная кинетическая энергия сохраняется. В случае «а», если \( \alpha = 0 \), то столкновение лобовое. Если \( \alpha \) не 0, то это не лобовое столкновение. В случае «б», \( \vec{v}_1 \) вертикально, \( \vec{v}_2 \) под углом. Для сохранения импульса, \( \vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную составляющую, равную \( \vec{v} \) (или быть больше, если \( m_1 \) получает скорость назад). В данном случае, если \( \vec{v}_1 \) — это скорость \( m_1 \), и она направлена вверх, то \( m_1\vec{v}_1 \) — импульс \( m_1 \) вверх. Исходный импульс был горизонтальный. Поэтому \( m_2\vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную составляющую, равную исходному импульсу, и вертикальную составляющую, равную \( -m_1\vec{v}_1 \). Это возможно.

Важно рассмотреть, что может произойти при столкновении. Если столкновение не лобовое, то скорости шаров после столкновения могут быть направлены под разными углами. Вариант «а» показывает, что оба шара отклоняются от исходного направления. Вариант «б» показывает, что один шар (m1) движется вверх, а другой (m2) — под углом. Сохранение импульса требует, чтобы векторная сумма импульсов после столкновения была равна вектору импульса до столкновения. В случае «а», если \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) выбраны правильно, их сумма может быть равна исходному импульсу. В случае «б», если \( \vec{v}_1 \) направлена строго вверх, то \( m_1\vec{v}_1 \) имеет только вертикальную компоненту. Для сохранения горизонтального импульса \( m_2\vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную компоненту, равную исходному импульсу. И при этом \( m_2\vec{v}_2 \) также имеет вертикальную составляющую, равную \( -m_1\vec{v}_1 \). Это возможно.

В задачах такого типа, если нет дополнительных условий (например, про тип столкновения - упругое/неупругое, или соотношение масс), часто предполагается, что такое распределение скоростей возможно, если оно не нарушает фундаментальные законы сохранения. В обоих случаях «а» и «б» возможно подобрать массы и скорости так, чтобы законы сохранения выполнялись. Например, в случае «б», если \( m_1 \) — очень лёгкий шар, а \( m_2 \) — очень тяжёлый, то \( m_1 \) может получить значительную скорость вверх, а \( m_2 \) — небольшую скорость, но с нужным направлением. В случае «а», также возможно подобрать углы и скорости.

Однако, если внимательно посмотреть на рис. 2 (а), то векторы \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) образуют углы \( \alpha \) с исходным направлением. Это означает, что они имеют как горизонтальные, так и вертикальные составляющие (если считать, что столкновение происходит в плоскости). Сумма горизонтальных составляющих должна равняться исходному импульсу. Сумма вертикальных составляющих должна быть равна нулю. Это возможно. В случае (б), \( \vec{v}_1 \) направлена вертикально. Это значит, что \( m_1 \) движется строго вверх. Для сохранения горизонтального импульса \( m_2 \) должна двигаться с такой горизонтальной скоростью, чтобы суммарный горизонтальный импульс был равен исходному. При этом \( m_2 \) должна иметь и вертикальную составляющую, равную \( -m_1\vec{v}_1 \).

В реальной физике, при лобовом столкновении двух одинаковых шаров, они могут поменяться скоростями, или один может остановиться, а другой продолжит движение. При нелобовом столкновении, отклонения возможны. Однако, если \( m_1 \) налетает на покоящийся \( m_2 \), то импульс \( m_1 \) до столкновения является единственным горизонтальным импульсом. После столкновения, импульс \( m_1 \) плюс импульс \( m_2 \) должны в сумме давать исходный импульс. В случае «б», \( \vec{v}_1 \) направлена строго вверх. Это означает, что \( m_1 \) получила вертикальное движение. Чтобы сохранить горизонтальный импульс, \( \vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную составляющую, равную исходному импульсу \( m_1 \) (если \( m_1 = m_2 \) и \( \vec{v}_1 \) перпендикулярна \( \vec{v}_2 \) ). Если \( m_1 \) движется вверх, то \( m_2 \) должна двигаться с такой скоростью, чтобы суммарный импульс был горизонтальным. Это возможно.

Наиболее вероятный ответ, основанный на общих принципах физики столкновений, заключается в том, что такие направления скоростей возможны, если обеспечить сохранение импульса и, при упругом столкновении, энергии. Случай «а» показывает нелобовое столкновение, где скорости разлетаются под углами. Случай «б» также может быть возможен. Если \( \vec{v}_1 \) перпендикулярна \( \vec{v}_2 \), и \( m_1 = m_2 \), то после лобового столкновения \( \vec{v}_1 = 0 \) и \( \vec{v}_2 = \vec{v} \). При нелобовом, отклонения возможны.

Однако, если рассматривать вариант, где \( m_1 \) сильно меньше \( m_2 \), то \( m_1 \) может отскочить назад или вбок, а \( m_2 \) продолжит движение почти с той же скоростью. В случае «б», \( \vec{v}_1 \) направлена вертикально. Это значит, что \( m_1 \) получила импульс только по вертикали. Если исходный импульс был горизонтальный, то \( m_2 \) должна компенсировать этот импульс по горизонтали. И она должна иметь вертикальный импульс, равный \( -m_1\vec{v}_1 \). Это возможно.

В контексте учебных задач, если не указано иное, то направления, которые не нарушают основные законы сохранения, считаются возможными. Оба варианта «а» и «б» могут быть реализованы при определённых условиях (массы, углы, тип столкновения). Однако, если \( \vec{v}_1 \) направлена вертикально, это весьма специфический случай. Но он возможен. Вариант «а» более общий случай нелобового столкновения. Если «а» возможно, то и «б» может быть возможным. Часто в таких задачах, если показаны векторы, то предполагается, что их сложение (с учетом масс) может дать исходный импульс. Наиболее общий ответ — что это возможно в обоих случаях, если подобрать соответствующие параметры. Но вариант «б», где \( \vec{v}_1 \) строго вертикально, может вызывать сомнения.

Посмотрим на вариант «а». Импульс \( m_1\vec{v}_1 \) и \( m_2\vec{v}_2 \) в сумме должны дать исходный импульс \( m_1\vec{v} \). Это возможно, если \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) имеют такие направления и величины. В варианте «б», \( \vec{v}_1 \) направлена строго вверх. Это значит, что \( m_1 \) получила чисто вертикальный импульс. Чтобы сохранить горизонтальный импульс, \( \vec{v}_2 \) должна иметь горизонтальную составляющую, равную исходному импульсу. И при этом \( \vec{v}_2 \) должна иметь вертикальную составляющую, равную \( -m_1\vec{v}_1 \). Это возможно.

Правильный ответ, основанный на физических законах, заключается в том, что такие сценарии возможны. В случае (а), где скорости разлетаются под углом, это типичный результат нелобового столкновения. В случае (б), где одна из скоростей строго вертикальна, это тоже возможно при определённых условиях. Таким образом, оба случая допустимы.

Окончательный вывод: В обоих случаях «а» и «б» возможны такие направления скоростей после соударения, при которых сохраняется импульс системы. Для этого необходимо подобрать соответствующие значения масс и скоростей. Следовательно, верным является вариант, допускающий оба случая.

Ответ: b. могут в обоих случаях.