Шеңбердің бір нүктесінен жүргізілген өзара перпендикуляр екі хорданың центрден қашықтықтары 8см және 14см. Хордалардың ұзындықтарын табыңыз. BN = CM Жауабыңыз: AN = CM

Пошаговое решение:

• Пусть O — центр окружности, а M и K — середины хорд AN и BN соответственно. Тогда OM = 14 см и OK = 8 см (расстояния от центра до хорд).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM. Пусть радиус окружности равен R. Тогда \( R^2 = AM^2 + OM^2 \), где AM = AN/2.
• Аналогично, для прямоугольного треугольника BOK: \( R^2 = BK^2 + OK^2 \), где BK = BN/2.
• Получаем два уравнения:
  • \( R^2 = (AN/2)^2 + 14^2 \)
  • \( R^2 = (BN/2)^2 + 8^2 \)
• Так как AN и BN перпендикулярны, рассмотрим прямоугольный треугольник AON. По теореме Пифагора: \( AN^2 + BN^2 = (2R)^2 \), где 2R - диаметр окружности.
• Следовательно, \( AN^2 + BN^2 = 4R^2 \).
• Подставим значения из первых двух уравнений:
  • \( AN^2 = 4(R^2 - 196) \)
  • \( BN^2 = 4(R^2 - 64) \)
• Тогда \( 4(R^2 - 196) + 4(R^2 - 64) = 4R^2 \).
• Раскрываем скобки: \( 4R^2 - 784 + 4R^2 - 256 = 4R^2 \).
• Упрощаем: \( 4R^2 = 1040 \).
• Находим \( R^2 = 260 \), следовательно, \( R = \sqrt{260} \).
• Теперь найдем AN и BN:
  • \( AN^2 = 4(260 - 196) = 4 \cdot 64 = 256 \), значит, \( AN = \sqrt{256} = 16 \) см.
  • \( BN^2 = 4(260 - 64) = 4 \cdot 196 = 784 \), значит, \( BN = \sqrt{784} = 28 \) см.

Ответ: BN = 28 см, AN = 16 см