Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 4. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно два раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Решение:

Задача сводится к подсчёту количества способов выбрать позиции для двух цифр 1, а затем определить количество вариантов для оставшихся позиций.

1. Выбор позиций для цифры 1: У нас есть 5 позиций, и нам нужно выбрать 2 из них для цифры 1. Количество способов сделать это вычисляется по формуле сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). В данном случае \( n=5 \) (общее количество позиций) и \( k=2 \) (количество позиций для цифры 1).
2. Расчёт числа сочетаний: \( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \).
3. Выбор цифр для оставшихся позиций: После того как позиции для цифры 1 выбраны, у нас остаются \( 5 - 2 = 3 \) позиции. Для каждой из этих позиций мы можем использовать цифры 2, 3 или 4. Это 3 варианта для каждой из 3 оставшихся позиций.
4. Расчёт вариантов для оставшихся позиций: Количество вариантов для каждой из 3 позиций равно \( 3 \). Так как позиции независимы, общее количество вариантов для этих 3 позиций равно \( 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \).
5. Общее количество вариантов шифра: Чтобы найти общее количество различных вариантов шифра, нужно умножить количество способов выбрать позиции для цифры 1 на количество вариантов для оставшихся позиций.
6. Итоговый расчёт: \( 10 \text{ (позиции для 1)} \times 27 \text{ (варианты для остальных)} = 270 \).

Ответ: 270