Шкала перевода первичного балла за выполнение контрольной работы в отметку по пятибалльной шкале: Первичный балл 3-4 5-6 7-8 Оценка 3 4 5 Вариант 1 1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 см и 10 см. 4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции. Вариант 2 1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника. 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника. 3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр. 4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Вариант 1

1. Сторона треугольника равна 5 см, высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

   Решение:

   Высота треугольника: $$h = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}$$.

   Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 25 см².

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

   Решение:

   По теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

   Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$.

   Ответ: гипотенуза 10 см, площадь 24 см².

3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 см и 10 см.

   Решение:

   Площадь ромба: $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \text{ см}^2$$.

   Сторона ромба: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8}{2})^2 + (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \text{ см}$$.

   Периметр ромба: $$P = 4 \cdot a = 4 \cdot \sqrt{41} \text{ см}$$.

   Ответ: площадь 40 см², периметр $$4\sqrt{41}$$ см.

4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна $$3\sqrt{2}$$ см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

   Решение:

   В трапеции АВСК: $$CK = 3\sqrt{2} \text{ см}$$, $$CH \perp AK$$, $$\angle AKC = 45^\circ$$.

   1) Рассмотрим $$\triangle CKH$$: $$\angle CHK = 90^\circ$$, $$\angle AKC = 45^\circ$$, следовательно, $$\angle KCH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$.

   $$\triangle CKH$$ – равнобедренный, значит, $$CH = HK$$.

   По теореме Пифагора: $$CK^2 = CH^2 + HK^2 = 2CH^2$$, следовательно,$$CH = \frac{CK}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \text{ см}$$.

   2) $$AK = 2CH = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$$.

   3) $$BC = HK = CH = 3 \text{ см}$$.

   4) Площадь трапеции: $$S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 13.5 см².

Вариант 2

1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника.

   Решение:

   Высота в три раза меньше стороны, значит, $$h = \frac{12}{3} = 4 \text{ см}$$.

   Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 24 см².

2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника.

   Решение:

   По теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$.

   Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$$.

   Ответ: второй катет 5 см, площадь 30 см².

3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр.

   Решение:

   Площадь ромба: $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$.

   Сторона ромба: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \text{ см}$$.

   Периметр ромба: $$P = 4 \cdot a = 4 \cdot \sqrt{61} \text{ см}$$.

   Ответ: площадь 60 см², периметр $$4\sqrt{61}$$ см.

4. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

   Решение:

   В трапеции ABCD: $$CD = 8 \text{ см}$$, $$\angle BAD = 60^\circ$$, $$BH \perp AD$$.

   1) Рассмотрим $$\triangle ABH$$: $$\angle BHA = 90^\circ$$, $$\angle BAH = 60^\circ$$, следовательно, $$\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$.

   Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы: $$AH = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$.

   2) $$BH = \sqrt{CD^2 - AH^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$.

   3) $$AD = 2AH = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$.

   4) $$BC = AH = 4 \text{ см}$$.

   5) Площадь трапеции: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{4 + 8}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

   Ответ: $$24\sqrt{3}$$ см².